Theorem signshnz 35043

Description: 𝐻 is not the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshnz	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝐻(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signshnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5		signs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	signshlen 35042	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝐹) + 1))
7		lencl 14588	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9		nn0p1nn 12558	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
11	6, 10	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
12	11	nnne0d 12301	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) ≠ 0)
13	1, 2, 3, 4, 5	signshwrd 35041	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ∈ Word ℝ)
14		hasheq0 14417	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐻) = 0 ↔ 𝐻 = ∅))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐻) = 0 ↔ 𝐻 = ∅))
16	15	necon3bid 3004	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐻) ≠ 0 ↔ 𝐻 ≠ ∅))
17	12, 16	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  ifcif 4489  {cpr 4593  {ctp 4595  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ∘_f cof 7682  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  -cneg 11457  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13551  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568   ++ cconcat 14625  ⟨“cs1 14652  sgncsgn 15147  Σcsu 15761  ndxcnx 17275  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332   Σ_g cgsu 17515   ∘_f/c cofc 34549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-s1 14653  df-ofc 34550

This theorem is used by: (None)