Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signshnz 34264
Description: 𝐻 is not the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
signs.h 𝐻 = ((βŸ¨β€œ0β€βŸ© ++ 𝐹) ∘f βˆ’ ((𝐹 ++ βŸ¨β€œ0β€βŸ©) ∘f/c Β· 𝐢))
Assertion
Ref Expression
signshnz ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ 𝐻 β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signshnz
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
2 signsv.w . . . . 5 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
3 signsv.t . . . . 5 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
4 signsv.v . . . . 5 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
5 signs.h . . . . 5 𝐻 = ((βŸ¨β€œ0β€βŸ© ++ 𝐹) ∘f βˆ’ ((𝐹 ++ βŸ¨β€œ0β€βŸ©) ∘f/c Β· 𝐢))
61, 2, 3, 4, 5signshlen 34263 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π») = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
7 lencl 14525 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
87adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
9 nn0p1nn 12551 . . . . 5 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„•)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„•)
116, 10eqeltrd 2829 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•)
1211nnne0d 12302 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π») β‰  0)
131, 2, 3, 4, 5signshwrd 34262 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ 𝐻 ∈ Word ℝ)
14 hasheq0 14364 . . . 4 (𝐻 ∈ Word ℝ β†’ ((β™―β€˜π») = 0 ↔ 𝐻 = βˆ…))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜π») = 0 ↔ 𝐻 = βˆ…))
1615necon3bid 2982 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜π») β‰  0 ↔ 𝐻 β‰  βˆ…))
1712, 16mpbid 231 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ 𝐻 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  {cpr 4634  {ctp 4636  βŸ¨cop 4638   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ∘f cof 7690  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   Β· cmul 11153   βˆ’ cmin 11484  -cneg 11485  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  β„+crp 13016  ...cfz 13526  ..^cfzo 13669  β™―chash 14331  Word cword 14506   ++ cconcat 14562  βŸ¨β€œcs1 14587  sgncsgn 15075  Ξ£csu 15674  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  +gcplusg 17242   Ξ£g cgsu 17431   ∘f/c cofc 33755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-ofc 33756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator