Theorem signshnz 34132

Description: 𝐻 is not the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshnz	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5		signs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	signshlen 34131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝐹) + 1))
7		lencl 14489	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9		nn0p1nn 12515	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
11	6, 10	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
12	11	nnne0d 12266	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) ≠ 0)
13	1, 2, 3, 4, 5	signshwrd 34130	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ∈ Word ℝ)
14		hasheq0 14328	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐻) = 0 ↔ 𝐻 = ∅))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐻) = 0 ↔ 𝐻 = ∅))
16	15	necon3bid 2979	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐻) ≠ 0 ↔ 𝐻 ≠ ∅))
17	12, 16	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∅c0 4317  ifcif 4523  {cpr 4625  {ctp 4627  ⟨cop 4629   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ∘_f cof 7665  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℝ⁺crp 12980  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  ♯chash 14295  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  ⟨“cs1 14551  sgncsgn 15039  Σcsu 15638  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206   Σ_g cgsu 17395   ∘_f/c cofc 33623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-ofc 33624

This theorem is referenced by: (None)