Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signshnz 31506
Description: 𝐻 is not the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
Assertion
Ref Expression
signshnz ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshnz
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . 5 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
3 signsv.t . . . . 5 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
4 signsv.v . . . . 5 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5 signs.h . . . . 5 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
61, 2, 3, 4, 5signshlen 31505 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝐹) + 1))
7 lencl 13694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
87adantr 473 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11748 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
116, 10eqeltrd 2867 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
1211nnne0d 11490 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) ≠ 0)
131, 2, 3, 4, 5signshwrd 31504 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ∈ Word ℝ)
14 hasheq0 13539 . . . 4 (𝐻 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐻) = 0 ↔ 𝐻 = ∅))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐻) = 0 ↔ 𝐻 = ∅))
1615necon3bid 3012 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐻) ≠ 0 ↔ 𝐻 ≠ ∅))
1712, 16mpbid 224 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  c0 4179  ifcif 4350  {cpr 4443  {ctp 4445  cop 4447  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  𝑓 cof 7225  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  -cneg 10671  cn 11439  0cn0 11707  +crp 12204  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  chash 13505  Word cword 13672   ++ cconcat 13733  ⟨“cs1 13758  sgncsgn 14306  Σcsu 14903  ndxcnx 16336  Basecbs 16339  +gcplusg 16421   Σg cgsu 16570  𝑓/𝑐cofc 30995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673  df-concat 13734  df-s1 13759  df-ofc 30996
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator