Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubcALTVlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srhmsubcALTVlem2 45112
 Description: Lemma 2 for srhmsubcALTV 45113. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubcALTV.s 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubcALTV.c 𝐶 = (𝑈𝑆)
srhmsubcALTV.j 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubcALTVlem2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubcALTVlem2
StepHypRef Expression
1 srhmsubcALTV.j . . . 4 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3 oveq12 7164 . . . 4 ((𝑟 = 𝑋𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
43adantl 485 . . 3 (((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5 simpl 486 . . . 4 ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋𝐶)
65adantl 485 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝐶)
7 simpr 488 . . . 4 ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌𝐶)
87adantl 485 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝐶)
9 ovexd 7190 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpod 7302 . 2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11 eqid 2758 . . 3 (RingCatALTV‘𝑈) = (RingCatALTV‘𝑈)
12 eqid 2758 . . 3 (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RingCatALTV‘𝑈))
13 simpl 486 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑈𝑉)
14 eqid 2758 . . 3 (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))
15 srhmsubcALTV.s . . . . 5 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
16 srhmsubcALTV.c . . . . 5 𝐶 = (𝑈𝑆)
1715, 16srhmsubcALTVlem1 45111 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑋𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
185, 17sylan2 595 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
1915, 16srhmsubcALTVlem1 45111 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑌𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
207, 19sylan2 595 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchomALTV 45067 . 2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
2210, 21eqtr4d 2796 1 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∩ cin 3859  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  Basecbs 16546  Hom chom 16639  Ringcrg 19370   RingHom crh 19540  RingCatALTVcringcALTV 45023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-hom 16652  df-cco 16653  df-ringcALTV 45025 This theorem is referenced by:  srhmsubcALTV  45113
 Copyright terms: Public domain W3C validator