Theorem srhmsubcALTVlem2 48946

Description: Lemma 2 for srhmsubcALTV 48947. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srhmsubcALTV.s	⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
srhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
srhmsubcALTVlem2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubcALTVlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srhmsubcALTV.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3		oveq12 7405	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
4	3	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6	5	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
7		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	7	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9		ovexd 7431	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
10	2, 4, 6, 8, 9	ovmpod 7548	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (RingCatALTV‘𝑈) = (RingCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RingCatALTV‘𝑈))
13		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))
15		srhmsubcALTV.s	. . . . 5 ⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
16		srhmsubcALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
17	15, 16	srhmsubcALTVlem1 48945	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
18	5, 17	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
19	15, 16	srhmsubcALTVlem1 48945	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
20	7, 19	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
21	11, 12, 13, 14, 18, 20	ringchomALTV 48924	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
22	10, 21	eqtr4d 2800	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ∩ cin 3903  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  Basecbs 17245  Hom chom 17297  Ringcrg 20283   RingHom crh 20518  RingCatALTVcringcALTV 48909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-hom 17310  df-cco 17311  df-ringcALTV 48910

This theorem is referenced by:  srhmsubcALTV  48947