Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubcALTVlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem srhmsubcALTVlem2 47309
Description: Lemma 2 for srhmsubcALTV 47310. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubcALTV.s βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
srhmsubcALTV.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
srhmsubcALTV.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubcALTVlem2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑆,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem srhmsubcALTVlem2
StepHypRef Expression
1 srhmsubcALTV.j . . . 4 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3 oveq12 7423 . . . 4 ((π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
43adantl 481 . . 3 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ (π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
5 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
65adantl 481 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
7 simpr 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
87adantl 481 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
9 ovexd 7449 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpod 7567 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
11 eqid 2727 . . 3 (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ))
13 simpl 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
14 eqid 2727 . . 3 (Hom β€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ))
15 srhmsubcALTV.s . . . . 5 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
16 srhmsubcALTV.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
1715, 16srhmsubcALTVlem1 47308 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
185, 17sylan2 592 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
1915, 16srhmsubcALTVlem1 47308 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
207, 19sylan2 592 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchomALTV 47287 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ))π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
2210, 21eqtr4d 2770 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   ∩ cin 3943  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Basecbs 17171  Hom chom 17235  Ringcrg 20164   RingHom crh 20397  RingCatALTVcringcALTV 47272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-hom 17248  df-cco 17249  df-ringcALTV 47273
This theorem is referenced by:  srhmsubcALTV  47310
  Copyright terms: Public domain W3C validator