Theorem srhmsubcALTVlem2 48285

Description: Lemma 2 for srhmsubcALTV 48286. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srhmsubcALTV.s	⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
srhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
srhmsubcALTVlem2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubcALTVlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srhmsubcALTV.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3		oveq12 7378	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9		ovexd 7404	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
10	2, 4, 6, 8, 9	ovmpod 7521	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (RingCatALTV‘𝑈) = (RingCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RingCatALTV‘𝑈))
13		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))
15		srhmsubcALTV.s	. . . . 5 ⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
16		srhmsubcALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
17	15, 16	srhmsubcALTVlem1 48284	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
18	5, 17	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
19	15, 16	srhmsubcALTVlem1 48284	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
20	7, 19	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
21	11, 12, 13, 14, 18, 20	ringchomALTV 48263	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
22	10, 21	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ∩ cin 3910  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Ringcrg 20118   RingHom crh 20354  RingCatALTVcringcALTV 48248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-ringcALTV 48249

This theorem is referenced by:  srhmsubcALTV  48286