Theorem srhmsubcALTVlem2 46831

Description: Lemma 2 for srhmsubcALTV 46832. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srhmsubcALTV.s	⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
srhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
srhmsubcALTVlem2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubcALTVlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srhmsubcALTV.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3		oveq12 7405	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
4	3	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6	5	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
7		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	7	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9		ovexd 7431	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
10	2, 4, 6, 8, 9	ovmpod 7547	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (RingCatALTV‘𝑈) = (RingCatALTV‘𝑈)
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RingCatALTV‘𝑈))
13		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))
15		srhmsubcALTV.s	. . . . 5 ⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
16		srhmsubcALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
17	15, 16	srhmsubcALTVlem1 46830	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
18	5, 17	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
19	15, 16	srhmsubcALTVlem1 46830	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
20	7, 19	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCatALTV‘𝑈)))
21	11, 12, 13, 14, 18, 20	ringchomALTV 46786	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
22	10, 21	eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCatALTV‘𝑈))𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3945  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  Basecbs 17131  Hom chom 17195  Ringcrg 20038   RingHom crh 20226  RingCatALTVcringcALTV 46742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-hom 17208  df-cco 17209  df-ringcALTV 46744

This theorem is referenced by:  srhmsubcALTV  46832