Theorem stgrvtx0 48453

Description: The center ("internal node") of a star graph S_N. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrvtx0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem stgrvtx0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx 48445	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
2		stgrvtx0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		stgrvtx0.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
4	3	fveq2i 6830	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
5	2, 4	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
6	5	eqeq1i 2744	. . 3 ⊢ (𝑉 = (0...𝑁) ↔ (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
7		0elfz 13569	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
8		eleq2 2828	. . . 4 ⊢ (𝑉 = (0...𝑁) → (0 ∈ 𝑉 ↔ 0 ∈ (0...𝑁)))
9	7, 8	syl5ibrcom 248	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑉 = (0...𝑁) → 0 ∈ 𝑉))
10	6, 9	biimtrrid 244	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁) → 0 ∈ 𝑉))
11	1, 10	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  Vtxcvtx 29083  StarGrcstgr 48442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-edgf 29076  df-vtx 29085  df-stgr 48443

This theorem is referenced by:  stgrnbgr0  48455  stgrclnbgr0  48456  isubgr3stgrlem2  48458  isubgr3stgrlem3  48459