Theorem submodaddmod 47332

Description: Subtraction and addition modulo a positive integer. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodaddmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))

Proof of Theorem submodaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		zcn 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		zcn 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	3, 6, 9	pnncand 11578	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
11		zaddcl 12579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
15	3, 14	pncan2d 11541	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) − 𝐴) = (𝐵 + 𝐶))
16	10, 15	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) − 𝐴))
17	16	breq2d 5121	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) − 𝐴)))
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
19		zaddcl 12579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
22		zsubcl 12581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
23	22	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
25		moddvds 16239	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶))))
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶))))
27		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
29		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12648	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
31	27, 30	zaddcld 12648	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) ∈ ℤ)
33		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		moddvds 16239	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) − 𝐴)))
35	18, 32, 33, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) − 𝐴)))
36	17, 26, 35	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072   + caddc 11077   − cmin 11411  ℕcn 12187  ℤcz 12535   mod cmo 13837   ∥ cdvds 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fl 13760  df-mod 13838  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  minusmodnep2tmod  47344