Theorem minusmodnep2tmod 47980

Description: A nonnegative integer minus a positive integer 1 or 2 is not itself plus 2 times the positive integer modulo 5. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmodnep2tmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Proof of Theorem minusmodnep2tmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4615	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2))
2		5ndvds3 16467	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 3
3		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = (3 · 1))
4		3t1e3 12401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 1) = 3
5	3, 4	eqtrdi 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = 3)
6	5	breq2d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 3))
7	2, 6	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 1 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
8		5ndvds6 16468	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 6
9		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = (3 · 2))
10		3t2e6 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
11	9, 10	eqtrdi 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = 6)
12	11	breq2d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 2 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 6))
13	8, 12	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 2 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
14	7, 13	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
16		fzo13pr 13774	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
17	15, 16	eleq2s 2887	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
18	17	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
19		5nn 12323	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 5 ∈ ℕ)
21		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		2z 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 2 ∈ ℤ)
24		elfzoelz 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	23, 25	zmulcld 12702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (2 · 𝐵) ∈ ℤ)
27		submodaddmod 47968	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
28	20, 21, 26, 25, 27	syl13anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
29		2cnd 12315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 2 ∈ ℂ)
30	24	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	29, 30	adddirp1d 11231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 + 1) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) + 𝐵))
32	31	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
33	32	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
34		2p1e3 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
35	34	oveq1i 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 1) · 𝐵) = (3 · 𝐵)
36	33, 35	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = (3 · 𝐵))
37	36	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴 + (3 · 𝐵)))
38	37	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5))
39	38	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
40	28, 39	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
41		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5)))
43		3z 12623	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 3 ∈ ℤ)
45		addmulmodb 16319	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
46	20, 21, 44, 25, 45	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
47	40, 42, 46	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ 5 ∥ (3 · 𝐵)))
48	18, 47	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))
49	48	neqned 2971	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {cpr 4593   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  5c5 12294  6c6 12295  ℤcz 12587  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898   ∥ cdvds 16306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem2  48721