Theorem minusmodnep2tmod 48255

Description: A nonnegative integer minus a positive integer 1 or 2 is not itself plus 2 times the positive integer modulo 5. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmodnep2tmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Proof of Theorem minusmodnep2tmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2))
2		5ndvds3 16509	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 3
3		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = (3 · 1))
4		3t1e3 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 1) = 3
5	3, 4	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = 3)
6	5	breq2d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 3))
7	2, 6	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 1 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
8		5ndvds6 16510	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 6
9		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = (3 · 2))
10		3t2e6 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
11	9, 10	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = 6)
12	11	breq2d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 2 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 6))
13	8, 12	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 2 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
14	7, 13	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
16		fzo13pr 13809	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
17	15, 16	eleq2s 2880	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
19		5nn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 5 ∈ ℕ)
21		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		2z 12654	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 2 ∈ ℤ)
24		elfzoelz 13718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	23, 25	zmulcld 12735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (2 · 𝐵) ∈ ℤ)
27		submodaddmod 48243	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
28	20, 21, 26, 25, 27	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
29		2cnd 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 2 ∈ ℂ)
30	24	zcnd 12730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	29, 30	adddirp1d 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 + 1) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) + 𝐵))
32	31	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
34		2p1e3 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
35	34	oveq1i 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 1) · 𝐵) = (3 · 𝐵)
36	33, 35	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = (3 · 𝐵))
37	36	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴 + (3 · 𝐵)))
38	37	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5))
39	38	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
40	28, 39	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
41		eqcom 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5)))
43		3z 12655	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 3 ∈ ℤ)
45		addmulmodb 16361	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
46	20, 21, 44, 25, 45	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
47	40, 42, 46	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ 5 ∥ (3 · 𝐵)))
48	18, 47	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))
49	48	neqned 2964	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {cpr 4589   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  5c5 12326  6c6 12327  ℤcz 12619  ..^cfzo 13713   mod cmo 13934   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349

This theorem is used by:  gpg5nbgrvtx13starlem2  48996