Theorem minusmodnep2tmod 47328

Description: A nonnegative integer minus a positive integer 1 or 2 is not itself plus 2 times the positive integer modulo 5. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmodnep2tmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Proof of Theorem minusmodnep2tmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4629	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2))
2		5ndvds3 16433	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 3
3		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = (3 · 1))
4		3t1e3 12413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 1) = 3
5	3, 4	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = 3)
6	5	breq2d 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 3))
7	2, 6	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 1 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
8		5ndvds6 16434	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 6
9		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = (3 · 2))
10		3t2e6 12414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
11	9, 10	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = 6)
12	11	breq2d 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 2 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 6))
13	8, 12	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 2 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
14	7, 13	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
16		fzo13pr 13770	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
17	15, 16	eleq2s 2851	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
19		5nn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 5 ∈ ℕ)
21		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		2z 12632	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 2 ∈ ℤ)
24		elfzoelz 13681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	23, 25	zmulcld 12711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (2 · 𝐵) ∈ ℤ)
27		submodaddmod 47316	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
28	20, 21, 26, 25, 27	syl13anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
29		2cnd 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 2 ∈ ℂ)
30	24	zcnd 12706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	29, 30	adddirp1d 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 + 1) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) + 𝐵))
32	31	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
34		2p1e3 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
35	34	oveq1i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 1) · 𝐵) = (3 · 𝐵)
36	33, 35	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = (3 · 𝐵))
37	36	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴 + (3 · 𝐵)))
38	37	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5))
39	38	eqeq1d 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
40	28, 39	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
41		eqcom 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5)))
43		3z 12633	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 3 ∈ ℤ)
45		addmulmodb 16286	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
46	20, 21, 44, 25, 45	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
47	40, 42, 46	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ 5 ∥ (3 · 𝐵)))
48	18, 47	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))
49	48	neqned 2938	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {cpr 4608   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   − cmin 11474  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  5c5 12306  6c6 12307  ℤcz 12596  ..^cfzo 13676   mod cmo 13891   ∥ cdvds 16273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-dvds 16274

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem2  48001