Theorem minusmodnep2tmod 47819

Description: A nonnegative integer minus a positive integer 1 or 2 is not itself plus 2 times the positive integer modulo 5. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmodnep2tmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Proof of Theorem minusmodnep2tmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4592	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2))
2		5ndvds3 16373	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 3
3		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = (3 · 1))
4		3t1e3 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 1) = 3
5	3, 4	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = 3)
6	5	breq2d 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 3))
7	2, 6	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 1 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
8		5ndvds6 16374	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 6
9		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = (3 · 2))
10		3t2e6 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = 6)
12	11	breq2d 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 2 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 6))
13	8, 12	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 2 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
14	7, 13	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
16		fzo13pr 13695	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
17	15, 16	eleq2s 2855	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
19		5nn 12258	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 5 ∈ ℕ)
21		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		2z 12550	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 2 ∈ ℤ)
24		elfzoelz 13604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	23, 25	zmulcld 12630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (2 · 𝐵) ∈ ℤ)
27		submodaddmod 47807	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
28	20, 21, 26, 25, 27	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
29		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 2 ∈ ℂ)
30	24	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	29, 30	adddirp1d 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 + 1) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) + 𝐵))
32	31	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
34		2p1e3 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
35	34	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 1) · 𝐵) = (3 · 𝐵)
36	33, 35	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = (3 · 𝐵))
37	36	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴 + (3 · 𝐵)))
38	37	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5))
39	38	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
40	28, 39	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
41		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5)))
43		3z 12551	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 3 ∈ ℤ)
45		addmulmodb 16225	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
46	20, 21, 44, 25, 45	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
47	40, 42, 46	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ 5 ∥ (3 · 𝐵)))
48	18, 47	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))
49	48	neqned 2940	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {cpr 4570   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  5c5 12230  6c6 12231  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem2  48560