Theorem minusmodnep2tmod 48398

Description: A nonnegative integer minus a positive integer 1 or 2 is not itself plus 2 times the positive integer modulo 5. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmodnep2tmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

Proof of Theorem minusmodnep2tmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4608	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2))
2		5ndvds3 16576	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 3
3		oveq2 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = (3 · 1))
4		3t1e3 12500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 1) = 3
5	3, 4	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (3 · 𝐵) = 3)
6	5	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 3))
7	2, 6	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 1 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
8		5ndvds6 16577	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 5 ∥ 6
9		oveq2 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = (3 · 2))
10		3t2e6 12501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
11	9, 10	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 2 → (3 · 𝐵) = 6)
12	11	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 2 → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ 5 ∥ 6))
13	8, 12	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 2 → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
14	7, 13	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 = 2) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1, 2} → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
16		fzo13pr 13877	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
17	15, 16	eleq2s 2879	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ 5 ∥ (3 · 𝐵))
19		5nn 12422	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 5 ∈ ℕ)
21		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		2z 12721	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 2 ∈ ℤ)
24		elfzoelz 13786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	23, 25	zmulcld 12802	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (2 · 𝐵) ∈ ℤ)
27		submodaddmod 48386	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
28	20, 21, 26, 25, 27	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
29		2cnd 12414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 2 ∈ ℂ)
30	24	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	29, 30	adddirp1d 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 + 1) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) + 𝐵))
32	31	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^3) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = ((2 + 1) · 𝐵))
34		2p1e3 12477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
35	34	oveq1i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 1) · 𝐵) = (3 · 𝐵)
36	33, 35	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((2 · 𝐵) + 𝐵) = (3 · 𝐵))
37	36	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴 + (3 · 𝐵)))
38	37	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5))
39	38	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + ((2 · 𝐵) + 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
40	28, 39	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
41		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) = ((𝐴 − 𝐵) mod 5)))
43		3z 12722	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → 3 ∈ ℤ)
45		addmulmodb 16428	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
46	20, 21, 44, 25, 45	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (5 ∥ (3 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + (3 · 𝐵)) mod 5) = (𝐴 mod 5)))
47	40, 42, 46	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5) ↔ 5 ∥ (3 · 𝐵)))
48	18, 47	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 5) = ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))
49	48	neqned 2963	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (1..^3)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 5) ≠ ((𝐴 + (2 · 𝐵)) mod 5))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {cpr 4586   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  5c5 12393  6c6 12394  ℤcz 12686  ..^cfzo 13781   mod cmo 14002   ∥ cdvds 16415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416

This theorem is used by:  gpg5nbgrvtx13starlem2  49139