Theorem difltmodne 47265

Description: Two nonnegative integers are not equal modulo a positive modulus if their difference is greater than 0 and less then the modulus. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difltmodne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ (𝐵 mod 𝑁))

Proof of Theorem difltmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁) → 1 ≤ (𝐴 − 𝐵))
4	2, 3	anim12i 612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
5	4	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
6		elnnz1 12675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ)
8		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)
9		elfzo1 13780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁))
10	7, 1, 8, 9	syl3anbrc 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (1..^𝑁))
11		nnz 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		fzoval 13728	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
15	10, 14	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
16		fzm1ndvds 16388	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
17	1, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ¬ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
19		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
20	18, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
21		moddvds 16330	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
23	17, 22	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
24	23	neqned 2953	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ (𝐵 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5167  (class class class)co 7451  1c1 11188   < clt 11327   ≤ cle 11328   − cmin 11524  ℕcn 12298  ℤcz 12645  ...cfz 13578  ..^cfzo 13722   mod cmo 13936   ∥ cdvds 16319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-rp 13067  df-fz 13579  df-fzo 13723  df-fl 13859  df-mod 13937  df-dvds 16320

This theorem is referenced by:  zplusmodne  47266  m1modne  47271  minusmod5ne  47272  submodneaddmod  47274