Theorem difltmodne 47317

Description: Two nonnegative integers are not equal modulo a positive modulus if their difference is greater than 0 and less then the modulus. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difltmodne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ (𝐵 mod 𝑁))

Proof of Theorem difltmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁) → 1 ≤ (𝐴 − 𝐵))
4	2, 3	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
5	4	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
6		elnnz1 12626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ)
8		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)
9		elfzo1 13734	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁))
10	7, 1, 8, 9	syl3anbrc 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (1..^𝑁))
11		nnz 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		fzoval 13682	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
15	10, 14	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
16		fzm1ndvds 16342	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
17	1, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ¬ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
19		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
20	18, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
21		moddvds 16284	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
23	17, 22	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
24	23	neqned 2938	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ (𝐵 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  1c1 11138   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474  ℕcn 12248  ℤcz 12596  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676   mod cmo 13891   ∥ cdvds 16273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-dvds 16274

This theorem is referenced by:  zplusmodne  47318  m1modne  47323  minusmod5ne  47324  submodneaddmod  47326