Theorem difltmodne 47588

Description: Two nonnegative integers are not equal modulo a positive modulus if their difference is greater than 0 and less than the modulus. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difltmodne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ (𝐵 mod 𝑁))

Proof of Theorem difltmodne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁) → 1 ≤ (𝐴 − 𝐵))
4	2, 3	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
5	4	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
6		elnnz1 12517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ)
8		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)
9		elfzo1 13628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁))
10	7, 1, 8, 9	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (1..^𝑁))
11		nnz 12509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		fzoval 13576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
15	10, 14	eleqtrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
16		fzm1ndvds 16249	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
17	1, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ¬ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
19		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
20	18, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
21		moddvds 16190	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
23	17, 22	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
24	23	neqned 2939	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ (𝐵 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570   mod cmo 13789   ∥ cdvds 16179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-dvds 16180

This theorem is referenced by:  zplusmodne  47589  m1modne  47594  minusmod5ne  47595  submodneaddmod  47597