MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1subrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1subrg 21490
Description: Univariate polynomials form a subring of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
ply1bas.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1subrg (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))

Proof of Theorem ply1subrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2 eqid 2738 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
5 ply1bas.u . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5ply1bas 21488 . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
7 1on 8392 . . . 4 1o ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1o ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mplsubrg 21333 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2739 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
124psr1val 21479 . . . 4 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)β€˜βˆ…)
13 0ss 4355 . . . . 5 βˆ… βŠ† (1o Γ— 1o)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ… βŠ† (1o Γ— 1o))
151, 12, 14opsrbas 21374 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜π‘†))
161, 12, 14opsrplusg 21376 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘†))
1716oveqdr 7378 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦))
181, 12, 14opsrmulr 21378 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (.rβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (.rβ€˜π‘†))
1918oveqdr 7378 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦))
2011, 15, 17, 19subrgpropd 20180 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubRingβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (SubRingβ€˜π‘†))
2110, 20eleqtrd 2841 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281   Γ— cxp 5629  Oncon0 6314  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  1oc1o 8373  Basecbs 17018  +gcplusg 17068  .rcmulr 17069  Ringcrg 19888  SubRingcsubrg 20141   mPwSer cmps 21229   mPoly cmpl 21231  PwSer1cps1 21468  Poly1cpl1 21470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-hash 14159  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-tset 17087  df-ple 17088  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-mhm 18536  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-mulg 18807  df-subg 18858  df-ghm 18938  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-subrg 20143  df-psr 21234  df-mpl 21236  df-opsr 21238  df-psr1 21473  df-ply1 21475
This theorem is referenced by:  ply1crng  21491  ply1assa  21492  ply1ring  21541
  Copyright terms: Public domain W3C validator