Theorem ply1subrg 21941

Description: Univariate polynomials form a subring of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1subrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem ply1subrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1val.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
5		ply1bas.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 21939	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		1on 8482	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 6, 8, 9	mplsubrg 21784	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubRing‘(1o mPwSer 𝑅)))
11		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12	4	psr1val 21930	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
13		0ss 4396	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
15	1, 12, 14	opsrbas 21826	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16	1, 12, 14	opsrplusg 21828	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
17	16	oveqdr 7440	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
18	1, 12, 14	opsrmulr 21830	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑆))
19	18	oveqdr 7440	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦))
20	11, 15, 17, 19	subrgpropd 20499	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘(1o mPwSer 𝑅)) = (SubRing‘𝑆))
21	10, 20	eleqtrd 2834	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   × cxp 5674  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1_oc1o 8463  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  ._rcmulr 17203  Ringcrg 20128  SubRingcsubrg 20458   mPwSer cmps 21677   mPoly cmpl 21679  PwSer₁cps1 21919  Poly₁cpl1 21921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-ply1 21926

This theorem is referenced by:  ply1crng  21942  ply1assa  21943  ply1ring  21991