MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1subrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1subrg 21490
Description: Univariate polynomials form a subring of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
ply1bas.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1subrg (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))

Proof of Theorem ply1subrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2 eqid 2737 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
5 ply1bas.u . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5ply1bas 21488 . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
7 1on 8391 . . . 4 1o ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1o ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mplsubrg 21333 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2738 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
124psr1val 21479 . . . 4 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)β€˜βˆ…)
13 0ss 4354 . . . . 5 βˆ… βŠ† (1o Γ— 1o)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ… βŠ† (1o Γ— 1o))
151, 12, 14opsrbas 21374 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜π‘†))
161, 12, 14opsrplusg 21376 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘†))
1716oveqdr 7377 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦))
181, 12, 14opsrmulr 21378 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (.rβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (.rβ€˜π‘†))
1918oveqdr 7377 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦))
2011, 15, 17, 19subrgpropd 20180 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubRingβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (SubRingβ€˜π‘†))
2110, 20eleqtrd 2840 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280   Γ— cxp 5628  Oncon0 6313  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  1oc1o 8372  Basecbs 17017  +gcplusg 17067  .rcmulr 17068  Ringcrg 19888  SubRingcsubrg 20141   mPwSer cmps 21229   mPoly cmpl 21231  PwSer1cps1 21468  Poly1cpl1 21470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-hash 14158  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-tset 17086  df-ple 17087  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-mhm 18535  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-mulg 18806  df-subg 18857  df-ghm 18938  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-subrg 20143  df-psr 21234  df-mpl 21236  df-opsr 21238  df-psr1 21473  df-ply1 21475
This theorem is referenced by:  ply1crng  21491  ply1assa  21492  ply1ring  21541
  Copyright terms: Public domain W3C validator