Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srasubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srasubrg 33613
Description: A subring of the original structure is also a subring of the constructed subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
srasubrg.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srasubrg.u (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
srasubrg.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
srasubrg (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))

Proof of Theorem srasubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srasubrg.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
2 eqidd 2735 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3 srasubrg.a . . . 4 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4 srasubrg.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
53, 4srabase 21194 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
63, 4sraaddg 21196 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝐴))
76oveqdr 7458 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝐴)𝑦))
83, 4sramulr 21198 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑊) = (.r𝐴))
98oveqdr 7458 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
102, 5, 7, 9subrgpropd 20624 . 2 (𝜑 → (SubRing‘𝑊) = (SubRing‘𝐴))
111, 10eleqtrd 2840 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  cfv 6562  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  SubRingcsubrg 20585  subringAlg csra 21187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-subrg 20586  df-sra 21189
This theorem is referenced by:  drgextsubrg  33621  fedgmullem2  33657
  Copyright terms: Public domain W3C validator