Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srasubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srasubrg 33635
Description: A subring of the original structure is also a subring of the constructed subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
srasubrg.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srasubrg.u (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
srasubrg.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
srasubrg (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))

Proof of Theorem srasubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srasubrg.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
2 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3 srasubrg.a . . . 4 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4 srasubrg.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
53, 4srabase 21177 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
63, 4sraaddg 21179 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝐴))
76oveqdr 7459 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝐴)𝑦))
83, 4sramulr 21181 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑊) = (.r𝐴))
98oveqdr 7459 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
102, 5, 7, 9subrgpropd 20608 . 2 (𝜑 → (SubRing‘𝑊) = (SubRing‘𝐴))
111, 10eleqtrd 2843 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  SubRingcsubrg 20569  subringAlg csra 21170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-sra 21172
This theorem is referenced by:  drgextsubrg  33643  fedgmullem2  33681
  Copyright terms: Public domain W3C validator