Theorem srasubrg 33591

Description: A subring of the original structure is also a subring of the constructed subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srasubrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srasubrg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
srasubrg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srasubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))

Proof of Theorem srasubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srasubrg.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
2		eqidd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		srasubrg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4		srasubrg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5	3, 4	srabase 21194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
6	3, 4	sraaddg 21196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐴))
7	6	oveqdr 7471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
8	3, 4	sramulr 21198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
9	8	oveqdr 7471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
10	2, 5, 7, 9	subrgpropd 20630	. 2 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝑊) = (SubRing‘𝐴))
11	1, 10	eleqtrd 2846	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6568  Basecbs 17252  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  SubRingcsubrg 20589  subringAlg csra 21187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17495  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-grp 18970  df-mgp 20156  df-ur 20203  df-ring 20256  df-subrg 20591  df-sra 21189

This theorem is referenced by:  drgextsubrg  33599  fedgmullem2  33635