Theorem srasubrg 31970

Description: A subring of the original structure is also a subring of the constructed subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srasubrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srasubrg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
srasubrg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srasubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))

Proof of Theorem srasubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srasubrg.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑊))
2		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		srasubrg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4		srasubrg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5	3, 4	srabase 20546	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
6	3, 4	sraaddg 20548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐴))
7	6	oveqdr 7369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
8	3, 4	sramulr 20550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
9	8	oveqdr 7369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
10	2, 5, 7, 9	subrgpropd 20163	. 2 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝑊) = (SubRing‘𝐴))
11	1, 10	eleqtrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6483  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059  ._rcmulr 17060  SubRingcsubrg 20124  subringAlg csra 20535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-subrg 20126  df-sra 20539

This theorem is referenced by:  drgextsubrg  31976  fedgmullem2  32007