MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgply1 21400
Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgply1 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgply1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8298 . . 3 1o ∈ On
2 eqid 2740 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 subrgply1.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
4 eqid 2740 . . . 4 (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 eqid 2740 . . . . 5 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
7 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
85, 6, 7ply1bas 21362 . . . 4 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
92, 3, 4, 8subrgmpl 21229 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
101, 9mpan 687 . 2 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
11 eqidd 2741 . . 3 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
12 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
13 eqid 2740 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
14 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1512, 13, 14ply1bas 21362 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1615a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17 eqid 2740 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
1812, 2, 17ply1plusg 21392 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
1918a1i 11 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
2019oveqdr 7297 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
21 eqid 2740 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2212, 2, 21ply1mulr 21394 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
2322a1i 11 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
2423oveqdr 7297 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
2511, 16, 20, 24subrgpropd 20055 . 2 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
2610, 25eleqtrrd 2844 1 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Oncon0 6264  cfv 6431  (class class class)co 7269  1oc1o 8279  Basecbs 16908  s cress 16937  +gcplusg 16958  .rcmulr 16959  SubRingcsubrg 20016   mPoly cmpl 21105  PwSer1cps1 21342  Poly1cpl1 21344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-hash 14041  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-tset 16977  df-ple 16978  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mhm 18426  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-mulg 18697  df-subg 18748  df-ghm 18828  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-subrg 20018  df-psr 21108  df-mpl 21110  df-opsr 21112  df-psr1 21347  df-ply1 21349
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  21401  plypf1  25369
  Copyright terms: Public domain W3C validator