MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgply1 21432
Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgply1 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgply1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8329 . . 3 1o ∈ On
2 eqid 2733 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 subrgply1.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
4 eqid 2733 . . . 4 (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 eqid 2733 . . . . 5 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
7 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
85, 6, 7ply1bas 21394 . . . 4 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
92, 3, 4, 8subrgmpl 21261 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
101, 9mpan 686 . 2 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
11 eqidd 2734 . . 3 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
12 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
13 eqid 2733 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
14 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1512, 13, 14ply1bas 21394 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1615a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17 eqid 2733 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
1812, 2, 17ply1plusg 21424 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
1918a1i 11 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
2019oveqdr 7323 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2212, 2, 21ply1mulr 21426 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
2322a1i 11 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
2423oveqdr 7323 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
2511, 16, 20, 24subrgpropd 20087 . 2 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
2610, 25eleqtrrd 2837 1 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101  Oncon0 6270  cfv 6447  (class class class)co 7295  1oc1o 8310  Basecbs 16940  s cress 16969  +gcplusg 16990  .rcmulr 16991  SubRingcsubrg 20048   mPoly cmpl 21137  PwSer1cps1 21374  Poly1cpl1 21376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-ofr 7554  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-hash 14073  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-tset 17009  df-ple 17010  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-submnd 18459  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-mulg 18729  df-subg 18780  df-ghm 18860  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-subrg 20050  df-psr 21140  df-mpl 21142  df-opsr 21144  df-psr1 21379  df-ply1 21381
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  21433  plypf1  25401
  Copyright terms: Public domain W3C validator