Theorem subrgply1 22138

Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
subrgply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrgply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgply1	⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgply1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8392	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		subrgply1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
5		subrgply1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
6		subrgply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	5, 6	ply1bas 22100	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8	2, 3, 4, 7	subrgmpl 21960	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
9	1, 8	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
10		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
11		subrgply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13	11, 12	ply1bas 22100	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
16	11, 2, 15	ply1plusg 22129	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
18	17	oveqdr 7369	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
19		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
20	11, 2, 19	ply1mulr 22131	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
22	21	oveqdr 7369	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
23	10, 14, 18, 22	subrgpropd 20516	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
24	9, 23	eleqtrrd 2832	1 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Oncon0 6302  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1_oc1o 8373  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  SubRingcsubrg 20477   mPoly cmpl 21836  Poly₁cpl1 22082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-psr 21839  df-mpl 21841  df-opsr 21843  df-psr1 22085  df-ply1 22087

This theorem is referenced by:  gsumply1subr  22139  asclply1subcl  22282  plypf1  26137  ressply1invg  33522  ressply1sub  33523  evls1subd  33525  irngss  33690