Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgply1 20401
 Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgply1 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgply1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8105 . . 3 1o ∈ On
2 eqid 2824 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 subrgply1.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
4 eqid 2824 . . . 4 (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 eqid 2824 . . . . 5 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
7 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
85, 6, 7ply1bas 20363 . . . 4 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
92, 3, 4, 8subrgmpl 20241 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
101, 9mpan 689 . 2 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
11 eqidd 2825 . . 3 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
12 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
13 eqid 2824 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
14 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1512, 13, 14ply1bas 20363 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1615a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
1812, 2, 17ply1plusg 20393 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
1918a1i 11 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
2019oveqdr 7177 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
21 eqid 2824 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2212, 2, 21ply1mulr 20395 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
2322a1i 11 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
2423oveqdr 7177 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
2511, 16, 20, 24subrgpropd 19570 . 2 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = (SubRing‘(1o mPoly 𝑅)))
2610, 25eleqtrrd 2919 1 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Oncon0 6178  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1oc1o 8091  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  SubRingcsubrg 19531   mPoly cmpl 20133  PwSer1cps1 20343  Poly1cpl1 20345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-ple 16585  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-psr 20136  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-ply1 20350 This theorem is referenced by:  gsumply1subr  20402  plypf1  24812
 Copyright terms: Public domain W3C validator