MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiagrhm 20509
Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagrhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiagrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiagrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2 pwsdiagrhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
32pwsring 20223 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 20143 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5 pwsdiagrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 pwsdiagrhm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
72, 5, 6pwsdiagghm 19169 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
84, 7sylan 579 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9 eqid 2726 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
109ringmgp 20144 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11 eqid 2726 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
129, 5mgpbas 20045 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1311, 12, 6pwsdiagmhm 18756 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1410, 13sylan 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
222, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21pwsmgp 20226 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
2322simpld 494 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24 eqidd 2727 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
2522simprd 495 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2625oveqdr 7433 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
2715, 16, 15, 23, 24, 26mhmpropd 18722 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2814, 27eleqtrrd 2830 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
298, 28jca 511 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
309, 17isrhm 20380 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
311, 3, 29, 30syl21anbrc 1341 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623  cmpt 5224   × cxp 5667  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  s cpws 17401  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  Grpcgrp 18863   GrpHom cghm 19138  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138   RingHom crh 20371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rhm 20374
This theorem is referenced by:  evlsval2  21992  evlsval3  41693
  Copyright terms: Public domain W3C validator