Theorem pwsdiagrhm 20583

Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagrhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsdiagrhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsring 20298	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20214	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		pwsdiagrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		pwsdiagrhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	2, 5, 6	pwsdiagghm 19214	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
8	4, 7	sylan 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20215	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
12	9, 5	mgpbas 20121	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	11, 12, 6	pwsdiagmhm 18794	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
14	10, 13	sylan 587	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
22	2, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21	pwsmgp 20301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
23	22	simpld 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
25	22	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
26	25	oveqdr 7388	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
27	15, 16, 15, 23, 24, 26	mhmpropd 18755	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
28	14, 27	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
29	8, 28	jca 517	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
30	9, 17	isrhm 20453	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
31	1, 3, 29, 30	syl21anbrc 1352	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215   ↑_s cpws 17404  Mndcmnd 18697   MndHom cmhm 18744  Grpcgrp 18904   GrpHom cghm 19182  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ghm 19183  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  evlsval2  22067  evlsval3  22069