Theorem pwsdiagrhm 20538

Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagrhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsdiagrhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsring 20257	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20171	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		pwsdiagrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		pwsdiagrhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	2, 5, 6	pwsdiagghm 19171	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
8	4, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20172	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
12	9, 5	mgpbas 20078	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	11, 12, 6	pwsdiagmhm 18754	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
14	10, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
22	2, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21	pwsmgp 20260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
23	22	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
25	22	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
26	25	oveqdr 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
27	15, 16, 15, 23, 24, 26	mhmpropd 18715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
28	14, 27	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
29	8, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
30	9, 17	isrhm 20412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
31	1, 3, 29, 30	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4578   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175   ↑_s cpws 17364  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18704  Grpcgrp 18861   GrpHom cghm 19139  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20166   RingHom crh 20403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rhm 20406

This theorem is referenced by:  evlsval2  22040  evlsval3  22042