Theorem pwsdiagrhm 20624

Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagrhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsdiagrhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsring 20338	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20256	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		pwsdiagrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		pwsdiagrhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	2, 5, 6	pwsdiagghm 19275	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
8	4, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20257	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
12	9, 5	mgpbas 20158	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	11, 12, 6	pwsdiagmhm 18857	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
14	10, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
22	2, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21	pwsmgp 20341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
23	22	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
25	22	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
26	25	oveqdr 7459	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
27	15, 16, 15, 23, 24, 26	mhmpropd 18818	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
28	14, 27	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
29	8, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
30	9, 17	isrhm 20495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
31	1, 3, 29, 30	syl21anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298   ↑_s cpws 17493  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rhm 20489

This theorem is referenced by:  evlsval2  22129  evlsval3  42546