Theorem pwsdiagrhm 20391

Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagrhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsdiagrhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsring 20130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20054	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		pwsdiagrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		pwsdiagrhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	2, 5, 6	pwsdiagghm 19114	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
8	4, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20055	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
12	9, 5	mgpbas 19987	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	11, 12, 6	pwsdiagmhm 18708	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
14	10, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
22	2, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21	pwsmgp 20133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
23	22	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
25	22	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
26	25	oveqdr 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
27	15, 16, 15, 23, 24, 26	mhmpropd 18674	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
28	14, 27	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
29	8, 28	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
30	9, 17	isrhm 20249	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
31	1, 3, 29, 30	syl21anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193   ↑_s cpws 17388  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243

This theorem is referenced by:  evlsval2  21641  evlsval3  41128