MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiagrhm 20391
Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagrhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiagrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiagrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2 pwsdiagrhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
32pwsring 20130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 20054 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5 pwsdiagrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 pwsdiagrhm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
72, 5, 6pwsdiagghm 19114 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
84, 7sylan 580 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
109ringmgp 20055 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11 eqid 2732 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
129, 5mgpbas 19987 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1311, 12, 6pwsdiagmhm 18708 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1410, 13sylan 580 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18 eqid 2732 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19 eqid 2732 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
222, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21pwsmgp 20133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
2322simpld 495 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24 eqidd 2733 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
2522simprd 496 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2625oveqdr 7433 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
2715, 16, 15, 23, 24, 26mhmpropd 18674 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2814, 27eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
298, 28jca 512 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
309, 17isrhm 20249 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
311, 3, 29, 30syl21anbrc 1344 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4627  cmpt 5230   × cxp 5673  cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  s cpws 17388  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243
This theorem is referenced by:  evlsval2  21641  evlsval3  41128
  Copyright terms: Public domain W3C validator