MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiagrhm 20608
Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagrhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiagrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiagrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2 pwsdiagrhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
32pwsring 20322 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 20236 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5 pwsdiagrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 pwsdiagrhm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
72, 5, 6pwsdiagghm 19263 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
84, 7sylan 580 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
9 eqid 2736 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
109ringmgp 20237 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11 eqid 2736 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
129, 5mgpbas 20143 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1311, 12, 6pwsdiagmhm 18845 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1410, 13sylan 580 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
18 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
19 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
20 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
21 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
222, 9, 11, 17, 18, 19, 20, 21pwsmgp 20325 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
2322simpld 494 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
24 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
2522simprd 495 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2625oveqdr 7460 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
2715, 16, 15, 23, 24, 26mhmpropd 18806 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2814, 27eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
298, 28jca 511 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
309, 17isrhm 20479 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
311, 3, 29, 30syl21anbrc 1344 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {csn 4625  cmpt 5224   × cxp 5682  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  s cpws 17492  Mndcmnd 18748   MndHom cmhm 18795  Grpcgrp 18952   GrpHom cghm 19231  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231   RingHom crh 20470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-rhm 20473
This theorem is referenced by:  evlsval2  22112  evlsval3  42574
  Copyright terms: Public domain W3C validator