Theorem symgmov2 19306

Description: For a permutation of a set, each element of the set is replaced by an(other) element of the set. (Contributed by AV, 2-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgmov1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
symgmov2	⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑛   𝑃,𝑛   𝑄,𝑘,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑘)

Proof of Theorem symgmov2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		symgmov1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3	1, 2	symgbasf1o 19293	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → 𝑄:𝑁–1-1-onto→𝑁)
4		f1ofo 6776	. 2 ⊢ (𝑄:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑄:𝑁–onto→𝑁)
5		foelcdmi 6889	. . 3 ⊢ ((𝑄:𝑁–onto→𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)
6	5	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝑄:𝑁–onto→𝑁 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)
7	3, 4, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  –onto→wfo 6485  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  SymGrpcsymg 19287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-tset 17186  df-efmnd 18783  df-symg 19288

This theorem is referenced by:  symgfix2  19334