Theorem symgmov2 18020

Description: For a permutation of a set, each element of the set is replaced by an(other) element of the set. (Contributed by AV, 2-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgmov1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
symgmov2	⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑛   𝑃,𝑛   𝑄,𝑘,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑘)

Proof of Theorem symgmov2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		symgmov1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3	1, 2	symgbasf1o 18010	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → 𝑄:𝑁–1-1-onto→𝑁)
4		f1ofo 6286	. 2 ⊢ (𝑄:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑄:𝑁–onto→𝑁)
5		foelrni 6388	. . 3 ⊢ ((𝑄:𝑁–onto→𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)
6	5	ralrimiva 3115	. 2 ⊢ (𝑄:𝑁–onto→𝑁 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)
7	3, 4, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  –onto→wfo 6028  –1-1-onto→wf1o 6029  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  SymGrpcsymg 18004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-symg 18005

This theorem is referenced by:  symgfix2  18043