Theorem symgbas0 19326

Description: The base set of the symmetric group on the empty set is the singleton containing the empty set. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
symgbas0	⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}

Proof of Theorem symgbas0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
2		f1o00 6838	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
3	1, 2	mpbiran2 710	. . 3 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ 𝑓 = ∅)
4	3	abbii 2797	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅–1-1-onto→∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = (Base‘(SymGrp‘∅))
7	5, 6	symgbas 19309	. 2 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {𝑓 ∣ 𝑓:∅–1-1-onto→∅}
8		df-sn 4593	. 2 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
9	4, 7, 8	3eqtr4i 2763	1 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}

Syntax hints:   = wceq 1540  {cab 2708  ∅c0 4299  {csn 4592  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  SymGrpcsymg 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18803  df-symg 19307

This theorem is referenced by:  0symgefmndeq  19331  symgvalstruct  19334  mdet0pr  22486