Theorem symgfix2 19487

Description: If a permutation does not move a certain element of a set to a second element, there is a third element which is moved to the second element. (Contributed by AV, 2-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfix2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
symgfix2	⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝐿,𝑞   𝑃,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfix2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3916	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}))
2		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ↔ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
3		fveq1 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
4	3	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
5	4	elrab 3651	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿} ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
6	2, 5	xchnxbir 336	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿} ↔ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
7	6	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)))
8	1, 7	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)))
9		pm2.21 124	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
10		symgfix2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	10	symgmov2 19459	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙)
12		eqeq2 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝑙 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
13	12	rexbidv 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
14	13	rspcva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿)
15		eqeq2 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 = (𝑄‘𝑘) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
16	15	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
17	16	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ ¬ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
18		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 𝑘 → (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘))
19	18	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘))
20	19	necon3bi 2984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘) → 𝑘 ≠ 𝐾)
21	17, 20	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → 𝑘 ≠ 𝐾))
22	21	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → 𝑘 ≠ 𝐾))
23	22	pm4.71rd 571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
24	23	rexbidv 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
25		rexdifsn 4763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
26	24, 25	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
27	14, 26	syl5ibcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙) → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
28	27	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
29	28	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
30	11, 29	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
31	9, 30	jaoi 870	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
32	31	com13 89	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ 𝑃 → ((¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
33	32	impd 415	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
34	8, 33	biimtrid 245	1 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  SymGrpcsymg 19440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-efmnd 18929  df-symg 19441

This theorem is referenced by: (None)