Theorem symgfix2 19402

Description: If a permutation does not move a certain element of a set to a second element, there is a third element which is moved to the second element. (Contributed by AV, 2-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfix2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
symgfix2	⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝐿,𝑞   𝑃,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfix2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3941	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}))
2		ianor 983	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ↔ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
3		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
4	3	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
5	4	elrab 3676	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿} ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
6	2, 5	xchnxbir 333	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿} ↔ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
7	6	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)))
8	1, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)))
9		pm2.21 123	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
10		symgfix2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	10	symgmov2 19374	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙)
12		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝑙 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
13	12	rexbidv 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
14	13	rspcva 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿)
15		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 = (𝑄‘𝑘) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
16	15	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ ¬ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
18		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 𝑘 → (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘))
19	18	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘))
20	19	necon3bi 2959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘) → 𝑘 ≠ 𝐾)
21	17, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → 𝑘 ≠ 𝐾))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → 𝑘 ≠ 𝐾))
23	22	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
24	23	rexbidv 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
25		rexdifsn 4775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
26	24, 25	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
27	14, 26	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙) → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
29	28	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
30	11, 29	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
31	9, 30	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
32	31	com13 88	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ 𝑃 → ((¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
33	32	impd 410	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
34	8, 33	biimtrid 242	1 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3420   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  SymGrpcsymg 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-efmnd 18852  df-symg 19356

This theorem is referenced by: (None)