Theorem symgfix2 19336

Description: If a permutation does not move a certain element of a set to a second element, there is a third element which is moved to the second element. (Contributed by AV, 2-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfix2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
symgfix2	⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝐿,𝑞   𝑃,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfix2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3953	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}))
2		ianor 978	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ↔ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
3		fveq1 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
4	3	eqeq1d 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
5	4	elrab 3678	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿} ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
6	2, 5	xchnxbir 333	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿} ↔ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
7	6	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)))
8	1, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)))
9		pm2.21 123	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
10		symgfix2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	10	symgmov2 19307	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙)
12		eqeq2 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝑙 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
13	12	rexbidv 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
14	13	rspcva 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿)
15		eqeq2 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 = (𝑄‘𝑘) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
16	15	eqcoms 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 ↔ ¬ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘)))
18		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 𝑘 → (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘))
19	18	eqcoms 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘))
20	19	necon3bi 2961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = (𝑄‘𝑘) → 𝑘 ≠ 𝐾)
21	17, 20	biimtrdi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → 𝑘 ≠ 𝐾))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 → 𝑘 ≠ 𝐾))
23	22	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ((𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
24	23	rexbidv 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
25		rexdifsn 4792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘 ≠ 𝐾 ∧ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
26	24, 25	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝐿 ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
27	14, 26	syl5ibcom 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙) → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 → (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
29	28	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (∀𝑙 ∈ 𝑁 ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑄‘𝑘) = 𝑙 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
30	11, 29	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
31	9, 30	jaoi 854	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝐿 ∈ 𝑁 → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
32	31	com13 88	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ 𝑃 → ((¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿)))
33	32	impd 410	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (¬ 𝑄 ∈ 𝑃 ∨ ¬ (𝑄‘𝐾) = 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))
34	8, 33	biimtrid 241	1 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄‘𝑘) = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426   ∖ cdif 3940  {csn 4623  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  SymGrpcsymg 19286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794  df-symg 19287

This theorem is referenced by: (None)