Theorem tngdim 33984

Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tnglvec.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tngdim	⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem tngdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		tnglvec.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tngbas 24779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
6		ssidd 3961	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	2, 7	tngplusg 24780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
9	8	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
10	9	oveqdr 7440	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
11		lveclmod 21208	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LVec → 𝐺 ∈ LMod)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
15	3, 12, 13, 14	lmodvscl 20980	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
16	15	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
17	11, 16	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
18	17	adantlr 727	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
19	2, 13	tngvsca 24784	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
20	19	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
21	20	oveqdr 7440	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)𝑦))
22		eqid 2763	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
23		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺)))
24	2, 12	tngsca 24783	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
25	24	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
26	25	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
27	25	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (+g‘(Scalar‘𝐺)) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	oveqdr 7440	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐺))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑇))𝑦))
29		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ LVec)
30	2	tnglvec 33983	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
31	30	biimpac 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ LVec)
32	1, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31	dimpropd 33980	1 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LModclmod 20962  LVecclvec 21204   toNrmGrp ctng 24716  dimcldim 33970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-reg 9555  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7722  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-oi 9473  df-r1 9737  df-rank 9738  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-ds 17333  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-mri 17641  df-acs 17642  df-proset 18351  df-drs 18352  df-poset 18370  df-ipo 18585  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lbs 21177  df-lvec 21205  df-tng 24722  df-dim 33971

This theorem is referenced by:  rrxdim  33985