Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tngdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngdim 33206
Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tnglvec.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tngdim ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (dimβ€˜πΊ) = (dimβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngdim
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2725 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
2 tnglvec.t . . . 4 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
42, 3tngbas 24495 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
54adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
6 ssidd 3998 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
7 eqid 2724 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
82, 7tngplusg 24497 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘‡))
98adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘‡))
109oveqdr 7430 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‡)𝑦))
11 lveclmod 20950 . . . 4 (𝐺 ∈ LVec β†’ 𝐺 ∈ LMod)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜πΊ)
13 eqid 2724 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
14 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ))
153, 12, 13, 14lmodvscl 20720 . . . . 5 ((𝐺 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
16153expb 1117 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1711, 16sylan 579 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1817adantlr 712 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
192, 13tngvsca 24504 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡))
2019adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡))
2120oveqdr 7430 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑦))
22 eqid 2724 . 2 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
23 eqidd 2725 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)))
242, 12tngsca 24502 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜π‘‡))
2524adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜π‘‡))
2625fveq2d 6886 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2725fveq2d 6886 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2827oveqdr 7430 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜πΊ))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))𝑦))
29 simpl 482 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ LVec)
302tnglvec 33205 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
3130biimpac 478 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ LVec)
321, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31dimpropd 33201 1 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (dimβ€˜πΊ) = (dimβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  LModclmod 20702  LVecclvec 20946   toNrmGrp ctng 24431  dimcldim 33191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-rpss 7707  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-ds 17224  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-mri 17537  df-acs 17538  df-proset 18256  df-drs 18257  df-poset 18274  df-ipo 18489  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lbs 20919  df-lvec 20947  df-tng 24437  df-dim 33192
This theorem is referenced by:  rrxdim  33207
  Copyright terms: Public domain W3C validator