Theorem tngdim 33311

Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tnglvec.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tngdim	⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem tngdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		tnglvec.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tngbas 24564	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
6		ssidd 4003	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	2, 7	tngplusg 24566	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
10	9	oveqdr 7448	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
11		lveclmod 20991	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LVec → 𝐺 ∈ LMod)
12		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
13		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
14		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
15	3, 12, 13, 14	lmodvscl 20761	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
16	15	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
17	11, 16	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
18	17	adantlr 714	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
19	2, 13	tngvsca 24573	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
21	20	oveqdr 7448	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)𝑦))
22		eqid 2728	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
23		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺)))
24	2, 12	tngsca 24571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
26	25	fveq2d 6901	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
27	25	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (+g‘(Scalar‘𝐺)) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	oveqdr 7448	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐺))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑇))𝑦))
29		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ LVec)
30	2	tnglvec 33310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
31	30	biimpac 478	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ LVec)
32	1, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31	dimpropd 33306	1 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  LModclmod 20743  LVecclvec 20987   toNrmGrp ctng 24500  dimcldim 33296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9616  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rpss 7728  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-r1 9788  df-rank 9789  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ocomp 17254  df-ds 17255  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-mri 17568  df-acs 17569  df-proset 18287  df-drs 18288  df-poset 18305  df-ipo 18520  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lbs 20960  df-lvec 20988  df-tng 24506  df-dim 33297

This theorem is referenced by:  rrxdim  33312