Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tngdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngdim 32372
Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tnglvec.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tngdim ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (dimβ€˜πΊ) = (dimβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngdim
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
2 tnglvec.t . . . 4 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
42, 3tngbas 24021 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
54adantl 483 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
6 ssidd 3971 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
7 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
82, 7tngplusg 24023 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘‡))
98adantl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘‡))
109oveqdr 7389 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‡)𝑦))
11 lveclmod 20611 . . . 4 (𝐺 ∈ LVec β†’ 𝐺 ∈ LMod)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜πΊ)
13 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
14 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ))
153, 12, 13, 14lmodvscl 20383 . . . . 5 ((𝐺 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
16153expb 1121 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1711, 16sylan 581 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1817adantlr 714 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
192, 13tngvsca 24030 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡))
2019adantl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡))
2120oveqdr 7389 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑦))
22 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
23 eqidd 2734 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)))
242, 12tngsca 24028 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜π‘‡))
2524adantl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜π‘‡))
2625fveq2d 6850 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2725fveq2d 6850 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2827oveqdr 7389 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜πΊ))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))𝑦))
29 simpl 484 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ LVec)
302tnglvec 32371 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
3130biimpac 480 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ LVec)
321, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31dimpropd 32368 1 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (dimβ€˜πΊ) = (dimβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  LModclmod 20365  LVecclvec 20607   toNrmGrp ctng 23957  dimcldim 32360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rpss 7664  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-r1 9708  df-rank 9709  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ocomp 17162  df-ds 17163  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-mri 17476  df-acs 17477  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18210  df-ipo 18425  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lbs 20580  df-lvec 20608  df-tng 23963  df-dim 32361
This theorem is referenced by:  rrxdim  32373
  Copyright terms: Public domain W3C validator