Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tngdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngdim 31074
 Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tnglvec.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tngdim ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem tngdim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2825 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 tnglvec.t . . . 4 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3tngbas 23253 . . 3 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
54adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
6 ssidd 3976 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝐺))
7 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
82, 7tngplusg 23254 . . . 4 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
98adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (+g𝐺) = (+g𝑇))
109oveqdr 7177 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
11 lveclmod 19878 . . . 4 (𝐺 ∈ LVec → 𝐺 ∈ LMod)
12 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
13 eqid 2824 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
14 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
153, 12, 13, 14lmodvscl 19651 . . . . 5 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
16153expb 1117 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
1711, 16sylan 583 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
1817adantlr 714 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
192, 13tngvsca 23258 . . . 4 (𝑁𝑉 → ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝑇))
2019adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝑇))
2120oveqdr 7177 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑇)𝑦))
22 eqid 2824 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
23 eqidd 2825 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺)))
242, 12tngsca 23257 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
2524adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
2625fveq2d 6665 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
2725fveq2d 6665 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (+g‘(Scalar‘𝐺)) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
2827oveqdr 7177 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐺))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑇))𝑦))
29 simpl 486 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → 𝐺 ∈ LVec)
302tnglvec 31073 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
3130biimpac 482 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 ∈ LVec)
321, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31dimpropd 31070 1 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  LModclmod 19634  LVecclvec 19874   toNrmGrp ctng 23191  dimcldim 31062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-reg 9053  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-rpss 7443  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-oi 8971  df-r1 9190  df-rank 9191  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ocomp 16586  df-ds 16587  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-mri 16859  df-acs 16860  df-proset 17538  df-drs 17539  df-poset 17556  df-ipo 17762  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lbs 19847  df-lvec 19875  df-tng 23197  df-dim 31063 This theorem is referenced by:  rrxdim  31075
 Copyright terms: Public domain W3C validator