Theorem tngdim 33773

Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tnglvec.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tngdim	⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem tngdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		tnglvec.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tngbas 24616	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
6		ssidd 3946	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	2, 7	tngplusg 24617	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
10	9	oveqdr 7388	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
11		lveclmod 21093	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LVec → 𝐺 ∈ LMod)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
15	3, 12, 13, 14	lmodvscl 20864	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
16	15	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
17	11, 16	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
18	17	adantlr 716	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
19	2, 13	tngvsca 24621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
21	20	oveqdr 7388	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)𝑦))
22		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
23		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺)))
24	2, 12	tngsca 24620	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
26	25	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
27	25	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (+g‘(Scalar‘𝐺)) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	oveqdr 7388	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐺))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑇))𝑦))
29		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ LVec)
30	2	tnglvec 33772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
31	30	biimpac 478	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ LVec)
32	1, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31	dimpropd 33768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  LModclmod 20846  LVecclvec 21089   toNrmGrp ctng 24553  dimcldim 33758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ocomp 17232  df-ds 17233  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18251  df-drs 18252  df-poset 18270  df-ipo 18485  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lbs 21062  df-lvec 21090  df-tng 24559  df-dim 33759

This theorem is referenced by:  rrxdim  33774