Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tngdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngdim 33664
Description: Dimension of a left vector space augmented with a norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tnglvec.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tngdim ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem tngdim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 tnglvec.t . . . 4 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3tngbas 24655 . . 3 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
54adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
6 ssidd 4007 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝐺))
7 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
82, 7tngplusg 24657 . . . 4 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
98adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (+g𝐺) = (+g𝑇))
109oveqdr 7459 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
11 lveclmod 21105 . . . 4 (𝐺 ∈ LVec → 𝐺 ∈ LMod)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
13 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
153, 12, 13, 14lmodvscl 20876 . . . . 5 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
16153expb 1121 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
1711, 16sylan 580 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
1817adantlr 715 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
192, 13tngvsca 24664 . . . 4 (𝑁𝑉 → ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝑇))
2019adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝑇))
2120oveqdr 7459 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑇)𝑦))
22 eqid 2737 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
23 eqidd 2738 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺)))
242, 12tngsca 24662 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
2524adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
2625fveq2d 6910 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
2725fveq2d 6910 . . 3 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (+g‘(Scalar‘𝐺)) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
2827oveqdr 7459 . 2 (((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐺))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑇))𝑦))
29 simpl 482 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → 𝐺 ∈ LVec)
302tnglvec 33663 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
3130biimpac 478 . 2 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 ∈ LVec)
321, 5, 6, 10, 18, 21, 12, 22, 23, 26, 28, 29, 31dimpropd 33659 1 ((𝐺 ∈ LVec ∧ 𝑁𝑉) → (dim‘𝐺) = (dim‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  LModclmod 20858  LVecclvec 21101   toNrmGrp ctng 24591  dimcldim 33649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-tng 24597  df-dim 33650
This theorem is referenced by:  rrxdim  33665
  Copyright terms: Public domain W3C validator