Theorem cnlimc 25822

Description: 𝐹 is a continuous function iff the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimc	⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem cnlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3966	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
4	2	cnfldtopon 24703	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5	4	toponrestid 22841	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
6	2, 3, 5	cncfcn 24836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7	1, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8	7	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld))))
9		resttopon 23081	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
10	4, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
11		cncnp 23200	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
12	10, 4, 11	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
13	2, 3	cnplimc 25821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
14	13	baibd 539	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
15	14	an32s 652	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
16	15	ralbidva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
17	16	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
18	8, 12, 17	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   ↾_t crest 17359  TopOpenctopn 17360  ℂ_fldccnfld 21296  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144   CnP ccnp 23145  –cn→ccncf 24802   lim_ℂ climc 25796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-xms 24241  df-ms 24242  df-cncf 24804  df-limc 25800

This theorem is referenced by:  cnlimci  25823  fourierdlem62  46159