Theorem cncfcn1 24880

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncfcn1.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cncfcn1	⊢ (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)

Proof of Theorem cncfcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3999	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		cncfcn1.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24748	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	toponrestid 22872	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐽 ↾t ℂ)
5	2, 4, 4	cncfcn 24879	. 2 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽))
6	1, 1, 5	mp2an 690	1 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1533   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  TopOpenctopn 17411  ℂ_fldccnfld 21301   Cn ccn 23177  –cn→ccncf 24845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-rest 17412  df-topn 17413  df-topgen 17433  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-xms 24275  df-ms 24276  df-cncf 24847

This theorem is referenced by:  expcncf  24896  dvcjbr  25930  plycn  26245  plycnOLD  26246  psercn2  26409  psercn2OLD  26410  efopn  26642  cxpcn  26729  cxpcnOLD  26730  efrlim  26951  efrlimOLD  26952  pntlem3  27592  cvxpconn  34985  sinccvglem  35409  dvtanlem  37275  climexp  45133  fprodsub2cncf  45433  fprodadd2cncf  45434