Theorem cncfcn1 24084

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncfcn1.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cncfcn1	⊢ (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)

Proof of Theorem cncfcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3942	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		cncfcn1.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 23956	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	toponrestid 22080	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐽 ↾t ℂ)
5	2, 4, 4	cncfcn 24083	. 2 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽))
6	1, 1, 5	mp2an 689	1 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3886  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  TopOpenctopn 17142  ℂ_fldccnfld 20607   Cn ccn 22385  –cn→ccncf 24049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-fz 13250  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-rest 17143  df-topn 17144  df-topgen 17164  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-xms 23483  df-ms 23484  df-cncf 24051

This theorem is referenced by:  expcncf  24099  dvcjbr  25123  plycn  25432  psercn2  25592  efopn  25823  cxpcn  25908  efrlim  26129  pntlem3  26767  sinccvglem  33638  dvtanlem  35834  climexp  43127  fprodsub2cncf  43427  fprodadd2cncf  43428