MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobrOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcobrOLD 25799
Description: Obsolete version of dvcobr 25798 as of 10-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvco.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvco.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
dvco.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
dvcobr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvcobr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
dvco.bf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvcobrOLD (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Proof of Theorem dvcobrOLD
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2724 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt 𝑇) = (𝐽 β†Ύt 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2724 . . . . 5 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
6 dvco.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 dvco.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8sstrd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
106, 9fssd 6725 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
11 dvco.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 25748 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
131, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1413simpld 494 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ))
15 dvco.bf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
178, 16, 7dvcl 25749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1815, 17mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1918ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2016adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21 eldifi 4118 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
22 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelcdmd 7077 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
266adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
275, 10, 11dvbss 25751 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (𝑇 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
28 reldv 25720 . . . . . . . . . . . . 13 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5933 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3975 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3326, 32ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelcdmd 7077 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3534adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3625, 35subcld 11567 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
3710ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
3821ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
3937, 38ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4031ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
4137, 40ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4239, 41subcld 11567 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
43 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))
4439, 41subeq0ad 11577 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
4544necon3abid 2969 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) β‰  0 ↔ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
4643, 45mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) β‰  0)
4736, 42, 46divcld 11986 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
4819, 47ifclda 4555 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚)
4911, 5sstrd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
5010, 49, 31dvlem 25746 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
51 ssidd 3997 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
523cnfldtopon 24620 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
53 txtopon 23416 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
5452, 52, 53mp2an 689 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
5554toponrestid 22744 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
5623anim1i 614 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)))
57 eldifsn 4782 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)))
5856, 57sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}))
5958anasss 466 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}))
60 eldifsni 4785 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 β‰  (πΊβ€˜πΆ))
61 ifnefalse 4532 . . . . . . . 8 (𝑦 β‰  (πΊβ€˜πΆ) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
6362adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
646, 31ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
6516, 9, 64dvlem 25746 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
6663, 65eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚)
67 limcresi 25735 . . . . . . 7 (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢)
686feqmptd 6950 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
6968reseq1d 5970 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})))
70 difss 4123 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
71 resmpt 6027 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))
7369, 72eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7473oveq1d 7416 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
7567, 74sseqtrid 4026 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
76 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
7776, 3dvcnp2 25770 . . . . . . . . 9 (((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
785, 10, 11, 30, 77syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
793, 76cnplimc 25737 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
8049, 31, 79syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
8178, 80mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
8281simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
8375, 82sseldd 3975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
84 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
85 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8684, 3, 85, 8, 16, 7eldv 25748 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))))
8715, 86mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))))
8887simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
8962mpteq2ia 5241 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
9089oveq1i 7411 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))
9188, 90eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
92 eqeq1 2728 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 = (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
93 fveq2 6881 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
9493oveq1d 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
95 oveq1 7408 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
9694, 95oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
9792, 96ifbieq2d 4546 . . . . 5 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))))
98 iftrue 4526 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = 𝐾)
9998ad2antll 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = 𝐾)
10059, 66, 83, 91, 97, 99limcco 25743 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ 𝐢))
10113simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
1023mulcn 24704 . . . . 5 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1035, 10, 11dvcl 25749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
1041, 103mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
10518, 104opelxpd 5705 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
10654toponunii 22739 . . . . . 6 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
107106cncnpi 23103 . . . . 5 (( Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
108102, 105, 107sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
10948, 50, 51, 51, 3, 55, 100, 101, 108limccnp2 25742 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
110 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
111110eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝐾 = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ ((𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ↔ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
112 oveq1 7408 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
113112eqeq1d 2726 . . . . . . 7 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ (((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ↔ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
11419mul01d 11409 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· 0) = 0)
1159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
116115, 23sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
117115, 33sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
118116, 117subeq0ad 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
119118biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0)
120119oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
12149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
12221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
123121, 122sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
124121, 32sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
125123, 124subcld 11567 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
126 eldifsni 4785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
128123, 124, 127subne0d 11576 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
129125, 128div0d 11985 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
130129adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
131120, 130eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
132131oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝐾 Β· 0))
133 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
13424, 34subeq0ad 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0 ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
135133, 134imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0))
136135imp 406 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0)
137136oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
138137, 130eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
139114, 132, 1383eqtr4d 2774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
140125adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
141128adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
14236, 42, 140, 46, 141dmdcan2d 12016 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
143111, 113, 139, 142ifbothda 4558 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
144 fvco3 6980 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
1456, 21, 144syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
146 fvco3 6980 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
1476, 31, 146syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
148147adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
149145, 148oveq12d 7419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
150149oveq1d 7416 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
151143, 150eqtr4d 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
152151mpteq2dva 5238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
153152oveq1d 7416 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
154109, 153eleqtrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
155 eqid 2724 . . 3 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
156 fco 6731 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
15716, 6, 156syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
1582, 3, 155, 5, 157, 11eldv 25748 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
15914, 154, 158mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  ifcif 4520  {csn 4620  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  Rel wrel 5671  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11103  0cc0 11105   Β· cmul 11110   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867   β†Ύt crest 17364  TopOpenctopn 17365  β„‚fldccnfld 21227  TopOnctopon 22733  intcnt 22842   Cn ccn 23049   CnP ccnp 23050   Γ—t ctx 23385   limβ„‚ climc 25712   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-ntr 22845  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator