MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcn 25437
Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcn (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))

Proof of Theorem dvcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 eqid 2732 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
42, 3dvcnp2 25436 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
54ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
6 raleq 3322 . . . . 5 (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯)))
76biimpd 228 . . . 4 (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯)))
85, 7mpan9 507 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
93cnfldtopon 24298 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
10 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
11 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1210, 11sstrd 3992 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 resttopon 22664 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
149, 12, 13sylancr 587 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
15 cncnp 22783 . . . 4 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))))
1614, 9, 15sylancl 586 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))))
171, 8, 16mpbir2and 711 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
18 ssid 4004 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
199toponrestid 22422 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
203, 2, 19cncfcn 24425 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2112, 18, 20sylancl 586 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2217, 21eleqtrrd 2836 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   CnP ccnp 22728  β€“cnβ†’ccncf 24391   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  cpnord  25451  dvlipcn  25510  dvlip2  25511  dvivthlem1  25524  lhop1lem  25529  dvfsumlem2  25543  itgsubstlem  25564  taylthlem2  25885  efcn  25954  pige3ALT  26028  relogcn  26145  atancn  26438  ftc2re  33605  gg-dvfsumlem2  35178  aks4d1p1p5  40935  lhe4.4ex1a  43078  dvmulcncf  44631  dvdivcncf  44633  dvbdfbdioolem1  44634  ioodvbdlimc1lem2  44638  ioodvbdlimc2lem  44640  fourierdlem94  44906  fourierdlem113  44925  fouriercn  44938
  Copyright terms: Public domain W3C validator