MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcn 25845
Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcn (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Proof of Theorem dvcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 eqid 2728 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴)
3 eqid 2728 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
42, 3dvcnp2 25843 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
54ralrimiva 3142 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
6 raleq 3318 . . . . 5 (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯)))
76biimpd 228 . . . 4 (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯)))
85, 7mpan9 506 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
93cnfldtopon 24693 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
10 simpl3 1191 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
11 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1210, 11sstrd 3989 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 resttopon 23059 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
149, 12, 13sylancr 586 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
15 cncnp 23178 . . . 4 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))))
1614, 9, 15sylancl 585 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))))
171, 8, 16mpbir2and 712 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
18 ssid 4001 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
199toponrestid 22817 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
203, 2, 19cncfcn 24824 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2112, 18, 20sylancl 585 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2217, 21eleqtrrd 2832 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057   βŠ† wss 3945  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  β„‚cc 11131   β†Ύt crest 17396  TopOpenctopn 17397  β„‚fldccnfld 21273  TopOnctopon 22806   Cn ccn 23122   CnP ccnp 23123  β€“cnβ†’ccncf 24790   D cdv 25786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-ntr 22918  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790
This theorem is referenced by:  cpnord  25859  dvlipcn  25921  dvlip2  25922  dvivthlem1  25935  lhop1lem  25940  dvfsumlem2  25955  dvfsumlem2OLD  25956  itgsubstlem  25977  taylthlem2  26303  taylthlem2OLD  26304  efcn  26374  pige3ALT  26448  relogcn  26566  atancn  26862  ftc2re  34225  aks4d1p1p5  41541  lhe4.4ex1a  43757  dvmulcncf  45304  dvdivcncf  45306  dvbdfbdioolem1  45307  ioodvbdlimc1lem2  45311  ioodvbdlimc2lem  45313  fourierdlem94  45579  fourierdlem113  45598  fouriercn  45611
  Copyright terms: Public domain W3C validator