Theorem dvcn 25830

Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcn	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	dvcnp2 25828	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
5	4	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
6		raleq 3298	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
7	6	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
8	5, 7	mpan9 506	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
9	3	cnfldtopon 24677	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
12	10, 11	sstrd 3960	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		resttopon 23055	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
15		cncnp 23174	. . . 4 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
16	14, 9, 15	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
17	1, 8, 16	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18		ssid 3972	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	9	toponrestid 22815	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
20	3, 2, 19	cncfcn 24810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	12, 18, 20	sylancl 586	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐴–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	17, 21	eleqtrrd 2832	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ℂ_fldccnfld 21271  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118   CnP ccnp 23119  –cn→ccncf 24776   D cdv 25771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-ntr 22914  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  cpnord  25844  dvlipcn  25906  dvlip2  25907  dvivthlem1  25920  lhop1lem  25925  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  itgsubstlem  25962  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  efcn  26360  pige3ALT  26436  relogcn  26554  atancn  26853  ftc2re  34596  aks4d1p1p5  42070  lhe4.4ex1a  44325  dvmulcncf  45930  dvdivcncf  45932  dvbdfbdioolem1  45933  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  fourierdlem94  46205  fourierdlem113  46224  fouriercn  46237