Theorem upgrpredgv 29225

Description: An edge of a pseudograph always connects two vertices if the edge contains two sets. The two vertices/sets need not necessarily be different (loops are allowed). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem upgrpredgv

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	upgredg 29223	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
4	3	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
5		preq12bg 4797	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
6	5	3ad2antl2 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
7		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
8	7	eqcoms 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
10		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	eqcoms 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	9, 12	im2anan9 621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
16	15	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
18		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
19	18	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
21	17, 20	im2anan9 621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
23	22	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
24	14, 23	jaod 860	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
26	6, 25	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
27	26	rexlimdvva 3195	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
28	4, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4570  ‘cfv 6493  Vtxcvtx 29082  Edgcedg 29133  UPGraphcupgr 29166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-edg 29134  df-upgr 29168

This theorem is referenced by:  grlimprclnbgrvtx  48490  grlimgredgex  48491