Theorem upgrpredgv 28666

Description: An edge of a pseudograph always connects two vertices if the edge contains two sets. The two vertices/sets need not necessarily be different (loops are allowed). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem upgrpredgv

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	upgredg 28664	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
4	3	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
5		preq12bg 4853	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
6	5	3ad2antl2 1184	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
7		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
8	7	eqcoms 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
9	8	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
10		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	eqcoms 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	9, 12	im2anan9 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15		eleq1 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
16	15	eqcoms 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
17	16	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
18		eleq1 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
19	18	eqcoms 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
21	17, 20	im2anan9 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
23	22	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
24	14, 23	jaod 855	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
25	24	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
26	6, 25	sylbid 239	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
27	26	rexlimdvva 3209	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
28	4, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  {cpr 4629  ‘cfv 6542  Vtxcvtx 28523  Edgcedg 28574  UPGraphcupgr 28607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-edg 28575  df-upgr 28609

This theorem is referenced by: (None)