Theorem upgrpredgv 29774

Description: An edge of a pseudograph always connects two vertices if the edge contains two sets. The two vertices/sets need not necessarily be different (loops are allowed). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem upgrpredgv

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	upgredg 29772	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
4	3	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
5		preq12bg 4813	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
6	5	3ad2antl2 1205	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
7		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
8	7	eqcoms 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
10		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	eqcoms 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	9, 12	im2anan9 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15		eleq1 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
16	15	eqcoms 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
18		eleq1 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
19	18	eqcoms 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
21	17, 20	im2anan9 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
22	21	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
23	22	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
24	14, 23	jaod 873	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
26	6, 25	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
27	26	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
28	4, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {cpr 4590  ‘cfv 6566  Vtxcvtx 29631  Edgcedg 29682  UPGraphcupgr 29715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-edg 29683  df-upgr 29717

This theorem is used by:  grlimprclnbgrvtx  49370  grlimgredgex  49371