Theorem upgrpredgv 29226

Description: An edge of a pseudograph always connects two vertices if the edge contains two sets. The two vertices/sets need not necessarily be different (loops are allowed). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem upgrpredgv

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	upgredg 29224	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
4	3	3adant2 1137	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛})
5		preq12bg 4784	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
6	5	3ad2antl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} ↔ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚))))
7		eleq1 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
8	7	eqcoms 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
9	8	biimpd 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
10		eleq1 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	eqcoms 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	biimpd 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	9, 12	im2anan9 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
16	15	eqcoms 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑀 ∈ 𝑉))
17	16	biimpd 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑛 → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ 𝑉))
18		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
19	18	eqcoms 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	biimpd 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑚 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉))
21	17, 20	im2anan9 626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
23	22	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
24	14, 23	jaod 865	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
25	24	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → (((𝑀 = 𝑚 ∧ 𝑁 = 𝑛) ∨ (𝑀 = 𝑛 ∧ 𝑁 = 𝑚)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
26	6, 25	sylbid 241	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) ∧ (𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉)) → ({𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
27	26	rexlimdvva 3196	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ 𝑉 {𝑀, 𝑁} = {𝑚, 𝑛} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
28	4, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  {cpr 4557  ‘cfv 6485  Vtxcvtx 29083  Edgcedg 29134  UPGraphcupgr 29167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29135  df-upgr 29169

This theorem is referenced by:  grlimprclnbgrvtx  48490  grlimgredgex  48491