Theorem usgr1eop 27338

Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1eop	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph))

Proof of Theorem usgr1eop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2		simpllr 776	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		simplrl 777	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ 𝑊)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑊)
6		snex 5324	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
8		opvtxfv 27095	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
9	5, 7, 8	syl2an 599	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
10	3, 9	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
11		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
13	4, 12, 8	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
14	11, 13	eleqtrrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
15	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16		opiedgfv 27098	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
17	5, 7, 16	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
19	1, 2, 10, 15, 17, 18	usgr1e 27333	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph)
20	19	ex 416	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408  {csn 4541  {cpr 4543  ⟨cop 4547  ‘cfv 6380  Vtxcvtx 27087  iEdgciedg 27088  USGraphcusgr 27240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897  df-vtx 27089  df-iedg 27090  df-edg 27139  df-uspgr 27241  df-usgr 27242

This theorem is referenced by:  usgr2v1e2w  27340