Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1eop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1eop 27081
 Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1eop (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph))

Proof of Theorem usgr1eop
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2 simpllr 775 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴𝑋)
3 simplrl 776 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝑉)
4 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐴𝑋) → 𝑉𝑊)
54adantr 484 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
6 snex 5300 . . . . . 6 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝐶 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
8 opvtxfv 26838 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
95, 7, 8syl2an 598 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
103, 9eleqtrrd 2893 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
11 simprr 772 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
126a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
134, 12, 8syl2an 598 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
1411, 13eleqtrrd 2893 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
1514adantr 484 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16 opiedgfv 26841 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
175, 7, 16syl2an 598 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 simpr 488 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
191, 2, 10, 15, 17, 18usgr1e 27076 . 2 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph)
2019ex 416 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {csn 4527  {cpr 4529  ⟨cop 4533  ‘cfv 6329  Vtxcvtx 26830  iEdgciedg 26831  USGraphcusgr 26983 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11973  df-z 11987  df-uz 12249  df-fz 12903  df-hash 13704  df-vtx 26832  df-iedg 26833  df-edg 26882  df-uspgr 26984  df-usgr 26985 This theorem is referenced by:  usgr2v1e2w  27083
 Copyright terms: Public domain W3C validator