Theorem usgr2v1e2w 29848

Description: A simple graph with two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2v1e2w	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr2v1e2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5400	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
2		s1val 14758	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
4	3	opeq2d 4850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ = ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩)
5		prid1g 4721	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
6		prid2g 4722	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
8		c0ex 11313	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	1, 8	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V)
10	7, 9	jctil 529	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})))
11		usgr1eop 29846	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph))
12	11	imp 412	. . 3 ⊢ (((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
13	10, 12	stoic3 1808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
14	4, 13	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838  0cc0 11213  ⟨“cs1 14755  USGraphcusgr 29745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-hash 14488  df-s1 14756  df-vtx 29591  df-iedg 29592  df-edg 29641  df-uspgr 29746  df-usgr 29747

This theorem is used by: (None)