Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredg2vlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredg2vlem1 27129
 Description: Lemma 1 for usgredg2v 27131. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg2v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg2v.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredg2v.a 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
Assertion
Ref Expression
usgredg2vlem1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑧   𝑧,𝐺   𝑥,𝑁,𝑧   𝑧,𝑉   𝑥,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem usgredg2vlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6664 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑌))
21eleq2d 2838 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
3 usgredg2v.a . . 3 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
42, 3elrab2 3608 . 2 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
5 usgredg2v.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 usgredg2v.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
75, 6usgredgreu 27122 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
8 prcom 4629 . . . . . . 7 {𝑁, 𝑧} = {𝑧, 𝑁}
98eqeq2i 2772 . . . . . 6 ((𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
109reubii 3310 . . . . 5 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
117, 10sylib 221 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
12113expb 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
13 riotacl 7132 . . 3 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁} → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
154, 14sylan2b 596 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃!wreu 3073  {crab 3075  {cpr 4528  dom cdm 5529  ‘cfv 6341  ℩crio 7114  Vtxcvtx 26903  iEdgciedg 26904  USGraphcusgr 27056 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-oadd 8123  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-dju 9377  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-hash 13755  df-edg 26955  df-umgr 26990  df-usgr 27058 This theorem is referenced by:  usgredg2vlem2  27130  usgredg2v  27131
 Copyright terms: Public domain W3C validator