MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgreu 27152
Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg3.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgredgreu ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸𝑌 ∈ (𝐸𝑋)) → ∃!𝑦𝑉 (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦})
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌

Proof of Theorem usgredgreu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgredg3.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 usgredg3.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2usgredg4 27151 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸𝑌 ∈ (𝐸𝑋)) → ∃𝑦𝑉 (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦})
4 eqtr2 2759 . . . . 5 (((𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
5 vex 3401 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
6 vex 3401 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
75, 6preqr2 4732 . . . . 5 ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
98a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸𝑌 ∈ (𝐸𝑋)) ∧ (𝑦𝑉𝑥𝑉)) → (((𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
109ralrimivva 3103 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸𝑌 ∈ (𝐸𝑋)) → ∀𝑦𝑉𝑥𝑉 (((𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
11 preq2 4622 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
1211eqeq2d 2749 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ↔ (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑥}))
1312reu4 3628 . 2 (∃!𝑦𝑉 (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦𝑉 (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦𝑉𝑥𝑉 (((𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
143, 10, 13sylanbrc 586 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸𝑌 ∈ (𝐸𝑋)) → ∃!𝑦𝑉 (𝐸𝑋) = {𝑌, 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  ∃!wreu 3055  {cpr 4515  dom cdm 5519  cfv 6333  Vtxcvtx 26933  iEdgciedg 26934  USGraphcusgr 27086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776  df-edg 26985  df-umgr 27020  df-usgr 27088
This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeuALT  27156  usgredg2vlem1  27159  usgredg2vlem2  27160
  Copyright terms: Public domain W3C validator