Theorem usgredgreu 29577

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg3.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgreu	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌

Proof of Theorem usgredgreu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		usgredg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	usgredg4 29576	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦})
4		eqtr2 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
5		vex 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		vex 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	preqr2 4814	. . . . 5 ⊢ ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
10	9	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
11		preq2 4700	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
12	11	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ↔ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}))
13	12	reu4 3694	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
14	3, 10, 13	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367  {cpr 4591  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  USGraphcusgr 29508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-hash 14372  df-edg 29407  df-umgr 29442  df-usgr 29510

This theorem is used by:  usgredg2vtxeuALT  29581  usgredg2vlem1  29584  usgredg2vlem2  29585