Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uspgrbispr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgrbispr 47325
Description: There is a bijection between the "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 and the subsets of the set of pairs over the set 𝑉. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgrsprf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
Assertion
Ref Expression
uspgrbispr (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣,𝑞   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem uspgrbispr
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgrsprf.p . . . 4 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2 uspgrsprf.g . . . 4 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
31, 2uspgrex 47324 . . 3 (𝑉𝑊𝐺 ∈ V)
43mptexd 7232 . 2 (𝑉𝑊 → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V)
5 eqid 2725 . . 3 (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) = (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))
61, 2, 5uspgrsprf1o 47323 . 2 (𝑉𝑊 → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)):𝐺1-1-onto𝑃)
7 f1oeq1 6822 . 2 (𝑓 = (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) → (𝑓:𝐺1-1-onto𝑃 ↔ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)):𝐺1-1-onto𝑃))
84, 6, 7spcedv 3577 1 (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wrex 3060  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4598  {copab 5205  cmpt 5226  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  2nd c2nd 7990  Vtxcvtx 28853  Edgcedg 28904  USPGraphcuspgr 29005  Pairscspr 46880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-vtx 28855  df-iedg 28856  df-edg 28905  df-upgr 28939  df-uspgr 29007  df-spr 46881
This theorem is referenced by:  uspgrspren  47326
  Copyright terms: Public domain W3C validator