Theorem uspgrsprf1o 49130

Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 and the subsets of the set of pairs over the set 𝑉. See also the comments on uspgrbisymrel 49135. (Contributed by AV, 25-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrsprf.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))

Assertion

Ref	Expression
uspgrsprf1o	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔,𝑒,𝑣   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣, 𝑒, 𝑔, 𝑞)   𝐺(𝑣, 𝑒, 𝑞)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem uspgrsprf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
3		uspgrsprf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
4	1, 2, 3	uspgrsprf1 49128	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐺–1-1→𝑃
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1→𝑃)
6	1, 2, 3	uspgrsprfo 49129	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–onto→𝑃)
7		df-f1o 6542	. 2 ⊢ (𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃 ↔ (𝐹:𝐺–1-1→𝑃 ∧ 𝐹:𝐺–onto→𝑃))
8	5, 6, 7	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  𝒫 cpw 4557  {copab 5167   ↦ cmpt 5186  –1-1→wf1 6532  –onto→wfo 6533  –1-1-onto→wf1o 6534  ‘cfv 6535  2^nd c2nd 7991  Vtxcvtx 29485  Edgcedg 29536  USPGraphcuspgr 29640  Pairscspr 48442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-hash 14420  df-vtx 29487  df-iedg 29488  df-edg 29537  df-upgr 29571  df-uspgr 29642  df-spr 48443

This theorem is used by:  uspgrex  49131  uspgrbispr  49132  uspgrbisymrelALT  49136