Theorem uspgrsprf1o 47874

Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 and the subsets of the set of pairs over the set 𝑉. See also the comments on uspgrbisymrel 47879. (Contributed by AV, 25-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrsprf.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))

Assertion

Ref	Expression
uspgrsprf1o	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔,𝑒,𝑣   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑒,𝑔,𝑞)   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem uspgrsprf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
3		uspgrsprf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
4	1, 2, 3	uspgrsprf1 47872	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐺–1-1→𝑃
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1→𝑃)
6	1, 2, 3	uspgrsprfo 47873	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–onto→𝑃)
7		df-f1o 6582	. 2 ⊢ (𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃 ↔ (𝐹:𝐺–1-1→𝑃 ∧ 𝐹:𝐺–onto→𝑃))
8	5, 6, 7	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  𝒫 cpw 4622  {copab 5228   ↦ cmpt 5249  –1-1→wf1 6572  –onto→wfo 6573  –1-1-onto→wf1o 6574  ‘cfv 6575  2^nd c2nd 8031  Vtxcvtx 29033  Edgcedg 29084  USPGraphcuspgr 29185  Pairscspr 47353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-dju 9972  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-hash 14382  df-vtx 29035  df-iedg 29036  df-edg 29085  df-upgr 29119  df-uspgr 29187  df-spr 47354

This theorem is referenced by:  uspgrex  47875  uspgrbispr  47876  uspgrbisymrelALT  47880