Theorem uspgrsprf1o 48992

Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 and the subsets of the set of pairs over the set 𝑉. See also the comments on uspgrbisymrel 48997. (Contributed by AV, 25-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrsprf.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))

Assertion

Ref	Expression
uspgrsprf1o	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔,𝑒,𝑣   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣, 𝑒, 𝑔, 𝑞)   𝐺(𝑣, 𝑒, 𝑞)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem uspgrsprf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
3		uspgrsprf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
4	1, 2, 3	uspgrsprf1 48990	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐺–1-1→𝑃
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1→𝑃)
6	1, 2, 3	uspgrsprfo 48991	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–onto→𝑃)
7		df-f1o 6548	. 2 ⊢ (𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃 ↔ (𝐹:𝐺–1-1→𝑃 ∧ 𝐹:𝐺–onto→𝑃))
8	5, 6, 7	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐺–1-1-onto→𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  𝒫 cpw 4564  {copab 5175   ↦ cmpt 5194  –1-1→wf1 6538  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  2^nd c2nd 7992  Vtxcvtx 29406  Edgcedg 29457  USPGraphcuspgr 29561  Pairscspr 48304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-dju 9904  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12884  df-fz 13557  df-hash 14390  df-vtx 29408  df-iedg 29409  df-edg 29458  df-upgr 29492  df-uspgr 29563  df-spr 48305

This theorem is used by:  uspgrex  48993  uspgrbispr  48994  uspgrbisymrelALT  48998