Theorem uspgredg2vlem 29514

Description: Lemma for uspgredg2v 29515. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgredg2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredg2v.a	⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑧,𝐺   𝑒,𝑁   𝑧,𝑁   𝑧,𝑉   𝑒,𝑌   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒)   𝐸(𝑧)   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2858	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ 𝑌))
2		uspgredg2v.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
3	1, 2	elrab2 3663	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 ↔ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
4		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	5	eleq2i 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	ad2antrl 740	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
9		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	4, 8, 9	3jca 1144	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
11		uspgredg2vtxeu 29511	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13		reueq1 3408	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = (Vtx‘𝐺) → (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
15	11, 14	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧})
16		riotacl 7385	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
17	10, 15, 16	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
18	3, 17	sylan2b 605	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃!wreu 3374  {crab 3423  {cpr 4596  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  Vtxcvtx 29287  Edgcedg 29338  USPGraphcuspgr 29439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-edg 29339  df-upgr 29373  df-uspgr 29441

This theorem is referenced by:  uspgredg2v  29515