Theorem uspgredg2vlem 27699

Description: Lemma for uspgredg2v 27700. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgredg2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredg2v.a	⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑧,𝐺   𝑒,𝑁   𝑧,𝑁   𝑧,𝑉   𝑒,𝑌   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒)   𝐸(𝑧)   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2826	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ 𝑌))
2		uspgredg2v.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
3	1, 2	elrab2 3637	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 ↔ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
4		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	5	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
7	6	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
9		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	4, 8, 9	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
11		uspgredg2vtxeu 27696	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13		reueq1 3389	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = (Vtx‘𝐺) → (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
15	11, 14	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧})
16		riotacl 7290	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
17	10, 15, 16	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
18	3, 17	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃!wreu 3348  {crab 3404  {cpr 4573  ‘cfv 6465  ℩crio 7271  Vtxcvtx 27475  Edgcedg 27526  USPGraphcuspgr 27627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-oadd 8348  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-dju 9730  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-n0 12307  df-xnn0 12379  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-hash 14118  df-edg 27527  df-upgr 27561  df-uspgr 27629

This theorem is referenced by:  uspgredg2v  27700