Theorem usgredg2vtxeuALT 27176

Description: Alternate proof of usgredg2vtxeu 27175, using edgiedgb 27011, the general translation from (iEdg‘𝐺) to (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vtxeuALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem usgredg2vtxeuALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 27140	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgredgiedgb 27083	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5, 2	usgredgreu 27172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})
7	6	3expia 1122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
8	7	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
9		eleq2 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
10		eqeq1 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
11	10	reubidv 3293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
12	9, 11	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ((𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}) ↔ (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})))
13	12	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → ((𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}) ↔ (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})))
14	8, 13	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}))
15	14	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}))))
16	15	rexlimdv 3194	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})))
17	4, 16	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})))
18	17	3imp 1112	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3055  ∃!wreu 3056  {cpr 4528  dom cdm 5535  ‘cfv 6349  Vtxcvtx 26953  iEdgciedg 26954  Edgcedg 27004  UHGraphcuhgr 27013  USGraphcusgr 27106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-dju 9415  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-hash 13795  df-edg 27005  df-uhgr 27015  df-upgr 27039  df-umgr 27040  df-uspgr 27107  df-usgr 27108

This theorem is referenced by: (None)