Theorem usgredg2vtxeuALT 29257

Description: Alternate proof of usgredg2vtxeu 29256, using edgiedgb 29089, the general translation from (iEdg‘𝐺) to (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vtxeuALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem usgredg2vtxeuALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 29221	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgredgiedgb 29161	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
5		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5, 2	usgredgreu 29253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})
7	6	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
9		eleq2 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
10		eqeq1 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
11	10	reubidv 3406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
12	9, 11	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ((𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}) ↔ (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → ((𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}) ↔ (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})))
14	8, 13	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}))
15	14	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}))))
16	15	rexlimdv 3159	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})))
17	4, 16	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})))
18	17	3imp 1111	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386  {cpr 4650  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  Edgcedg 29082  UHGraphcuhgr 29091  USGraphcusgr 29184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-edg 29083  df-uhgr 29093  df-upgr 29117  df-umgr 29118  df-uspgr 29185  df-usgr 29186

This theorem is referenced by: (None)