Theorem usgredg2vtxeuALT 29152

Description: Alternate proof of usgredg2vtxeu 29151, using edgiedgb 28984, the general translation from (iEdg‘𝐺) to (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vtxeuALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem usgredg2vtxeuALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 29116	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgredgiedgb 29056	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
5		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5, 2	usgredgreu 29148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})
7	6	3expia 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
8	7	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
9		eleq2 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
10		eqeq1 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
11	10	reubidv 3382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦}))
12	9, 11	imbi12d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ((𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}) ↔ (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})))
13	12	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → ((𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}) ↔ (𝑌 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑌, 𝑦})))
14	8, 13	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}))
15	14	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦}))))
16	15	rexlimdv 3143	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐸 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})))
17	4, 16	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑌 ∈ 𝐸 → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})))
18	17	3imp 1108	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3362  {cpr 4625  dom cdm 5672  ‘cfv 6543  Vtxcvtx 28926  iEdgciedg 28927  Edgcedg 28977  UHGraphcuhgr 28986  USGraphcusgr 29079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-fz 13530  df-hash 14340  df-edg 28978  df-uhgr 28988  df-upgr 29012  df-umgr 29013  df-uspgr 29080  df-usgr 29081

This theorem is referenced by: (None)