Theorem wlklnwwlkln1 29846

Description: The sequence of vertices in a walk of length 𝑁 is a walk as word of length 𝑁 in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlklnwwlkln1	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wlklnwwlkln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcl 29594	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlkiswwlks1 29845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
4	3	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
5	4	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
6	5	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺))
7		wlklenvp1 29597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8	7	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
9		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
12	8, 11	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
14		eleq1 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
15		iswwlksn 29816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
16	14, 15	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
18	17	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
20	6, 13, 19	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
22	2, 21	mpancom 688	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
23	22	com12 32	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  ℕ₀cn0 12381  ♯chash 14237  UPGraphcupgr 29058  Walkscwlks 29575  WWalkscwwlks 29803   WWalksN cwwlksn 29804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-upgr 29060  df-wlks 29578  df-wwlks 29808  df-wwlksn 29809

This theorem is referenced by:  wlklnwwlkn  29862  wlklnwwlknupgr  29864