MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklnwwlkln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlklnwwlkln1 27633
Description: The sequence of vertices in a walk of length 𝑁 is a walk as word of length 𝑁 in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlklnwwlkln1 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wlklnwwlkln1
StepHypRef Expression
1 wlkcl 27384 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21adantr 483 . . 3 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3 wlkiswwlks1 27632 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
43com12 32 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
54ad2antrl 726 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
65imp 409 . . . . 5 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺))
7 wlklenvp1 27387 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
87ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
9 oveq1 7140 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
109adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
1110adantl 484 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
128, 11eqtrd 2855 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
1312adantr 483 . . . . 5 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
14 eleq1 2898 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
15 iswwlksn 27603 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
1614, 15syl6bi 255 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
1716adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
1817impcom 410 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
1918adantr 483 . . . . 5 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
206, 13, 19mpbir2and 711 . . . 4 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
2120ex 415 . . 3 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
222, 21mpancom 686 . 2 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
2322com12 32 1 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  1c1 10516   + caddc 10518  0cn0 11876  chash 13675  UPGraphcupgr 26852  Walkscwlks 27365  WWalkscwwlks 27590   WWalksN cwwlksn 27591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-edg 26820  df-uhgr 26830  df-upgr 26854  df-wlks 27368  df-wwlks 27595  df-wwlksn 27596
This theorem is referenced by:  wlklnwwlkn  27649  wlklnwwlknupgr  27651
  Copyright terms: Public domain W3C validator