Theorem wlklnwwlkln1 29890

Description: The sequence of vertices in a walk of length 𝑁 is a walk as word of length 𝑁 in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlklnwwlkln1	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wlklnwwlkln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcl 29638	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlkiswwlks1 29889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
4	3	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
5	4	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
6	5	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺))
7		wlklenvp1 29641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8	7	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
9		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
12	8, 11	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
14		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
15		iswwlksn 29860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
16	14, 15	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
18	17	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
20	6, 13, 19	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
22	2, 21	mpancom 688	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
23	22	com12 32	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027  ℕ₀cn0 12399  ♯chash 14251  UPGraphcupgr 29102  Walkscwlks 29619  WWalkscwwlks 29847   WWalksN cwwlksn 29848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-edg 29070  df-uhgr 29080  df-upgr 29104  df-wlks 29622  df-wwlks 29852  df-wwlksn 29853

This theorem is referenced by:  wlklnwwlkn  29906  wlklnwwlknupgr  29908