Theorem wlklnwwlkln1 30472

Description: The sequence of vertices in a walk of length 𝑁 is a walk as word of length 𝑁 in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlklnwwlkln1	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wlklnwwlkln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcl 30211	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlkiswwlks1 30471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
4	3	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
5	4	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺)))
6	5	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺))
7		wlklenvp1 30214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8	7	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
9		oveq1 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
12	8, 11	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
14		eleq1 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
15		iswwlksn 30442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
16	14, 15	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)))))
18	17	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
20	6, 13, 19	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
21	20	ex 418	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁)) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
22	2, 21	mpancom 701	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → (𝐺 ∈ UPGraph → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
23	22	com12 33	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1c1 11214   + caddc 11216  ℕ₀cn0 12619  ♯chash 14487  UPGraphcupgr 29673  Walkscwlks 30192  WWalkscwwlks 30429   WWalksN cwwlksn 30430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-edg 29641  df-uhgr 29651  df-upgr 29675  df-wlks 30195  df-wwlks 30434  df-wwlksn 30435

This theorem is used by:  wlklnwwlkn  30488  wlklnwwlknupgr  30490