Theorem wrdlenge2n0 14300

Description: A word with length at least 2 is not empty. (Contributed by AV, 18-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlenge2n0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)

Proof of Theorem wrdlenge2n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11022	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℝ)
2		2re 12093	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℝ)
4		lencl 14281	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12340	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
6	1, 3, 5	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
7	6	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
8		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
9		1lt2 12190	. . . 4 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	jctil 521	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11		ltleletr 11114	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊)))
12	7, 10, 11	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
13		wrdlenge1n0 14298	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
14	13	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
15	12, 14	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∅c0 4262   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  ℝcr 10916  1c1 10918   < clt 11055   ≤ cle 11056  2c2 12074  ♯chash 14090  Word cword 14262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-xnn0 12352  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-hash 14091  df-word 14263

This theorem is referenced by:  pfxtrcfv0  14452  clwlkclwwlk  28411  pfx1s2  31258  pfxlsw2ccat  31269