MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxtrcfv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxtrcfv0 14448
Description: The first symbol in a word truncated by one symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxtrcfv0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem pfxtrcfv0
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 wrdlenge2n0 14296 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
3 2z 12394 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
5 lencl 14277 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
65nn0zd 12466 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8 simpr 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
9 eluz2 12630 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
104, 7, 8, 9syl3anbrc 1343 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
11 uz2m1nn 12705 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
13 lbfzo0 13469 . . 3 (0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
1412, 13sylibr 234 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
15 pfxtrcfv 14447 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅ ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘0) = (𝑊‘0))
161, 2, 14, 15syl3anc 1371 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘0) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2941  c0 4262   class class class wbr 5081  cfv 6454  (class class class)co 7303  0cc0 10913  1c1 10914  cle 11052  cmin 11247  cn 12015  2c2 12070  cz 12361  cuz 12624  ..^cfzo 13424  chash 14086  Word cword 14258   prefix cpfx 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-n0 12276  df-xnn0 12348  df-z 12362  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-hash 14087  df-word 14259  df-substr 14395  df-pfx 14425
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  28407
  Copyright terms: Public domain W3C validator