Theorem xpchom2 17884

Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcco2.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpcco2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpcco2.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpcco2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
xpcco2.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
xpcco2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
xpcco2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑌)
xpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
xpcco2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑌)
xpchom2.k	⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpchom2	⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Proof of Theorem xpchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcco2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		xpcco2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
3		xpcco2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
4	1, 2, 3	xpcbas 17876	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇)
5		xpcco2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		xpcco2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
7		xpchom2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
8		xpcco2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
9		xpcco2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	8, 9	opelxpd 5626	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
11		xpcco2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		xpcco2.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑌)
13	11, 12	opelxpd 5626	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
14	1, 4, 5, 6, 7, 10, 13	xpchom 17878	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))))
15		op1stg 7829	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
16	8, 9, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
17		op1stg 7829	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌) → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
18	11, 12, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
19	16, 18	oveq12d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑀𝐻𝑃))
20		op2ndg 7830	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
21	8, 9, 20	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
22		op2ndg 7830	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌) → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
23	11, 12, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
24	21, 23	oveq12d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑁𝐽𝑄))
25	19, 24	xpeq12d 5619	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))
26	14, 25	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4572   × cxp 5586  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  1^st c1st 7815  2^nd c2nd 7816  Basecbs 16893  Hom chom 16954   ×_c cxpc 17866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-hom 16967  df-cco 16968  df-xpc 17870

This theorem is referenced by:  xpcco2  17885  prfcl  17901  evlfcl  17921  curf1cl  17927  curf2cl  17930  curfcl  17931  uncf2  17936  uncfcurf  17938  diag12  17943  diag2  17944  curf2ndf  17946  yonedalem22  17977  yonedalem3b  17978