Theorem xpchom2 18138

Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcco2.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpcco2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpcco2.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpcco2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
xpcco2.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
xpcco2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
xpcco2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑌)
xpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
xpcco2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑌)
xpchom2.k	⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpchom2	⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Proof of Theorem xpchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcco2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		xpcco2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
3		xpcco2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
4	1, 2, 3	xpcbas 18130	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇)
5		xpcco2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		xpcco2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
7		xpchom2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
8		xpcco2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
9		xpcco2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	8, 9	opelxpd 5716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
11		xpcco2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		xpcco2.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑌)
13	11, 12	opelxpd 5716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
14	1, 4, 5, 6, 7, 10, 13	xpchom 18132	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))))
15		op1stg 7987	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
16	8, 9, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
17		op1stg 7987	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌) → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
18	11, 12, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
19	16, 18	oveq12d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑀𝐻𝑃))
20		op2ndg 7988	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
21	8, 9, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
22		op2ndg 7988	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌) → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
23	11, 12, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
24	21, 23	oveq12d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑁𝐽𝑄))
25	19, 24	xpeq12d 5708	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))
26	14, 25	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   × cxp 5675  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1^st c1st 7973  2^nd c2nd 7974  Basecbs 17144  Hom chom 17208   ×_c cxpc 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-xpc 18124

This theorem is referenced by:  xpcco2  18139  prfcl  18155  evlfcl  18175  curf1cl  18181  curf2cl  18184  curfcl  18185  uncf2  18190  uncfcurf  18192  diag12  18197  diag2  18198  curf2ndf  18200  yonedalem22  18231  yonedalem3b  18232