Theorem xpchom2 18148

Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcco2.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpcco2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpcco2.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpcco2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
xpcco2.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
xpcco2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
xpcco2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑌)
xpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
xpcco2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑌)
xpchom2.k	⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpchom2	⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Proof of Theorem xpchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcco2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		xpcco2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
3		xpcco2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
4	1, 2, 3	xpcbas 18140	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇)
5		xpcco2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		xpcco2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
7		xpchom2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
8		xpcco2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑋)
9		xpcco2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	8, 9	opelxpd 5708	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
11		xpcco2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		xpcco2.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑌)
13	11, 12	opelxpd 5708	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
14	1, 4, 5, 6, 7, 10, 13	xpchom 18142	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))))
15		op1stg 7983	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
16	8, 9, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑀)
17		op1stg 7983	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌) → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
18	11, 12, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑃)
19	16, 18	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑀𝐻𝑃))
20		op2ndg 7984	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
21	8, 9, 20	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩) = 𝑁)
22		op2ndg 7984	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌) → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
23	11, 12, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩) = 𝑄)
24	21, 23	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) = (𝑁𝐽𝑄))
25	19, 24	xpeq12d 5700	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐻(1st ‘⟨𝑃, 𝑄⟩)) × ((2nd ‘⟨𝑀, 𝑁⟩)𝐽(2nd ‘⟨𝑃, 𝑄⟩))) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))
26	14, 25	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀𝐻𝑃) × (𝑁𝐽𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4629   × cxp 5667  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  Basecbs 17151  Hom chom 17215   ×_c cxpc 18130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-hom 17228  df-cco 17229  df-xpc 18134

This theorem is referenced by:  xpcco2  18149  prfcl  18165  evlfcl  18185  curf1cl  18191  curf2cl  18194  curfcl  18195  uncf2  18200  uncfcurf  18202  diag12  18207  diag2  18208  curf2ndf  18210  yonedalem22  18241  yonedalem3b  18242