Theorem psrass1filem 15177

Description: A group sum commutation used by psrass1fi 15201. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumbagdiag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
gsumbagdiag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiagfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
gsumbagdiag.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass1lem.y	⊢ (𝑘 = (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
psrass1filem	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹,𝑥   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋,𝑥   𝑦,𝑋   𝑓,𝑌,𝑥   𝑦,𝑌   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑦,𝐼,𝑓   𝑥,𝐼   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑥,𝑗,𝑘   𝐷,𝑛,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝑓   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑛)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑛)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝐼(𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝑋(𝑗, 𝑘)   𝑌(𝑗, 𝑛)

Proof of Theorem psrass1filem

Dummy variables 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumbagdiag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		gsumbagdiag.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
3		gsumbagdiag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
4		gsumbagdiag.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		gsumbagdiag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		gsumbagdiagfi.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
7	1, 2, 3	gsumbagdiaglem 15175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}))
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	anassrs 404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	9	fmpttd 5866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
11	2	ssrab3 3334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
12	1, 2	psrbagconcl 15173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝑆)
13	3, 12	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝑆)
14	11, 13	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
15		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}
16	1, 15	psrbagconf1o 15174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
17	14, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
18		f1of 5642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
20	10, 19	fcod 5556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
21	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹 ∈ 𝐷)
23	1	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
25	24	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0)
26		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 ∈ 𝑆)
27	11, 26	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
28	1	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
30	29	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
31		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ⊆ 𝐷
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
33	31, 32	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 ∈ 𝐷)
34	1	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐷 → 𝑚:𝐼⟶ℕ0)
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚:𝐼⟶ℕ0)
36	35	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0)
37		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
38		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
39		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑚‘𝑧) ∈ ℂ)
40		sub32 8567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑚‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
41	37, 38, 39, 40	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑚‘𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
42	25, 30, 36, 41	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧)))
43	42	mpteq2dva 4223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧))))
44	35	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 Fn 𝐼)
45	32, 44	fndmexd 5584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐼 ∈ V)
46	25	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℤ)
47	30	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℤ)
48	46, 47	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ ℤ)
49	24	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑧)))
50	29	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
51	45, 25, 30, 49, 50	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
52	35	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑚 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚‘𝑧)))
53	45, 48, 36, 51, 52	offval2 6322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − (𝑚‘𝑧))))
54	36	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑚‘𝑧) ∈ ℤ)
55	46, 54	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) ∈ ℤ)
56	45, 25, 36, 49, 52	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧))))
57	45, 55, 30, 56, 50	offval2 6322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝑚‘𝑧)) − (𝑗‘𝑧))))
58	43, 53, 57	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗))
59	1, 15	psrbagconcl 15173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
60	14, 59	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
61	58, 60	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})
62	58	mpteq2dva 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗)))
63		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑋
64		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋
65		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑋 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋)
66	63, 64, 65	cbvmpt 4228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋)
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋))
68		csbeq1 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑋 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
69	61, 62, 67, 68	fmptco 5877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
70	69	feq1d 5523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚))):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵 ↔ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵))
71	20, 70	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}⟶𝐵)
72	71	fvmptelcdm 5864	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
73	72	anasss 403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
74	7, 73	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
75	1, 2, 3, 4, 5, 6, 74	gsumbagdiagfi 15176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
76		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
77	1	psrbaglefifi 15172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
78	3, 6, 77	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
79	2, 78	eqeltrid 2325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
80	1, 2	psrbagconcl 15173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝑆)
81	3, 80	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝑆)
82	11, 81	sselid 3246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝐷)
83	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ Fin)
84	1	psrbaglefifi 15172	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin)
85	82, 83, 84	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ∈ Fin)
86		xpfi 7243	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
87	79, 79, 86	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
88		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑚 ∈ 𝑆)
89	7	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
90		brxp 4807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗 ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆))
91	88, 89, 90	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗)
92	91	pm2.24d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})) → (¬ 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗 → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺)))
93	92	impr 379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}) ∧ ¬ 𝑚(𝑆 × 𝑆)𝑗)) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺))
94	4, 76, 5, 79, 85, 74, 87, 93	gsum2d2fi 14274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
95	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ Fin)
96	1	psrbaglefifi 15172	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
97	14, 95, 96	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
98		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
99	1, 2, 3	gsumbagdiaglem 15175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}))
100	99	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑚 ∈ 𝑆)
101		brxp 4807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚 ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆))
102	98, 100, 101	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚)
103	102	pm2.24d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚 → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺)))
104	103	impr 379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑚)) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = (0g‘𝐺))
105	4, 76, 5, 79, 97, 73, 87, 104	gsum2d2fi 14274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
106	75, 94, 105	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
107	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
108	74	anassrs 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}) → ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 ∈ 𝐵)
109	108	fmpttd 5866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋):{𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)}⟶𝐵)
110	4, 76, 107, 85, 109	gsumclfi 14249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)) ∈ 𝐵)
111	110	fmpttd 5866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))):𝑆⟶𝐵)
112	1, 2	psrbagconf1o 15174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
113	3, 112	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
114		f1ocnv 5655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
115		f1of 5642	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆)
116	113, 114, 115	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆⟶𝑆)
117	111, 116	fcod 5556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵)
118		coass 5309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))))
119		f1ococnv2 5669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ( I ↾ 𝑆))
120	113, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ( I ↾ 𝑆))
121	120	coeq2d 4944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)))
122	118, 121	eqtrid 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)))
123		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))
124		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
125		breq2 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))
126	125	rabbidv 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)})
127		ofovex 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V) → (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ V)
128	127	el2v 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ V
129		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) → 𝑋 = 𝑌)
130	128, 129	csbie 3193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = 𝑌
131		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗))
132	131	csbeq1d 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → ⦋(𝑛 ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
133	130, 132	eqtr3id 2285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → 𝑌 = ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)
134	126, 133	mpteq12dv 4214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌) = (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))
135	134	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
136	81, 123, 124, 135	fmptco 5877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))))
137	136	coeq1d 4943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))))
138		coires1 5308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆)
139		ssid 3268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑆
140		resmpt 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑆 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ↾ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
142	138, 141	eqtri 2259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))
143	142	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ ( I ↾ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
144	122, 137, 143	3eqtr3d 2279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))))
145	144	feq1d 5523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))) ∘ ◡(𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚))):𝑆⟶𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))):𝑆⟶𝐵))
146	117, 145	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))):𝑆⟶𝐵)
147	4, 76, 5, 79, 146, 113	gsumf1ofi 14250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))))
148	136	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌))) ∘ (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
149	147, 148	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑚)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
150	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
151	4, 76, 150, 97, 10, 17	gsumf1ofi 14250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)))))
152	69	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑚)))) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
153	151, 152	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))
154	153	mpteq2dva 4223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋))) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋))))
155	154	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘𝑓 − 𝑚) ∘𝑓 − 𝑗) / 𝑘⦌𝑋)))))
156	106, 149, 155	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑛} ↦ 𝑌)))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ⦋csb 3147   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   I cid 4435   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   ↾ cres 4778   “ cima 4779   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  ℂcc 8183   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  Basecbs 13410  0_gc0g 13669  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  psrass1fi  15201