Theorem cnplimccntop 13109

Description: A function is continuous at 𝐵 iff its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnplimccntop	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimccntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimccntop.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2		cnplimc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
3	1, 2	cnplimcim 13106	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
4		simpll 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5		simprl 521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6		simplr 520	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝐴)
7		simprr 522	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	cnplimclemr 13108	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
9	8	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
10	3, 9	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102   ∘ ccom 4592  ⟶wf 5168  ‘cfv 5172  (class class class)co 5826  ℂcc 7732   − cmin 8050  abscabs 10908   ↾_t crest 12421  MetOpencmopn 12455   CnP ccnp 12656   lim_ℂ climc 13093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-map 6597  df-pm 6598  df-sup 6930  df-inf 6931  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-xneg 9685  df-xadd 9686  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-rest 12423  df-topgen 12442  df-psmet 12457  df-xmet 12458  df-met 12459  df-bl 12460  df-mopn 12461  df-top 12466  df-topon 12479  df-bases 12511  df-cnp 12659  df-limced 13095

This theorem is referenced by:  cnlimc  13111  dvmulxxbr  13136  dvcoapbr  13141