Theorem mincncf 14770

Description: The minimum of two continuous real functions is continuous. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mincncf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
mincncf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
mincncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mincncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mincncf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
2		cncff 14732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
4	3	fvmptelcdm 5711	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		mincncf.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
6		cncff 14732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
8	7	fvmptelcdm 5711	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		minabs 11379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
11	10	mpteq2dva 4119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
12	4, 8	readdcld 8049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	4, 8	resubcld 8400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	abscld 11325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	12, 15	resubcld 8400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
17	16	rehalfcld 9229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
18	17	fmpttd 5713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ)
19		ax-resscn 7964	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20		ssid 3199	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
21		cncfss 14738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℝ) ⊆ (𝑋–cn→ℂ))
22	19, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋–cn→ℝ) ⊆ (𝑋–cn→ℂ)
23	22, 1	sselid 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
24	22, 5	sselid 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
25	23, 24	addcncf 14766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
26		cncfss 14738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
27	19, 20, 26	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
28		abscncf 14740	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
29	27, 28	sselii 3176	. . . . . . . 8 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	23, 24	subcncf 14767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	30, 31	cncfmpt1f 14752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	25, 32	subcncf 14767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34		2cn 9053	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		2ap0 9075	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
36		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 2 → (𝑦 # 0 ↔ 2 # 0))
37	36	elrab 2916	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
38	34, 35, 37	mpbir2an 944	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}
39		cncfrss 14730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	1, 39	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
41		apsscn 8666	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ
42	41	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ)
43		cncfmptc 14750	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 2) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
44	38, 40, 42, 43	mp3an2i 1353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 2) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
45	33, 44	divcncfap 14768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
46		cncfcdm 14737	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ))
47	19, 45, 46	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ))
48	18, 47	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
49	11, 48	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   ⊆ wss 3153  {cpr 3619   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  infcinf 7042  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   + caddc 7875   < clt 8054   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  abscabs 11141  –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726

This theorem is referenced by:  hovercncf  14800