Theorem mincncf 15290

Description: The minimum of two continuous real functions is continuous. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mincncf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
mincncf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
mincncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mincncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mincncf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
2		cncff 15251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
4	3	fvmptelcdm 5788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		mincncf.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
6		cncff 15251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
8	7	fvmptelcdm 5788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		minabs 11747	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
11	10	mpteq2dva 4174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
12	4, 8	readdcld 8176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	4, 8	resubcld 8527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	abscld 11692	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	12, 15	resubcld 8527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
17	16	rehalfcld 9358	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
18	17	fmpttd 5790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ)
19		ax-resscn 8091	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20		ssid 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
21		cncfss 15257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℝ) ⊆ (𝑋–cn→ℂ))
22	19, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋–cn→ℝ) ⊆ (𝑋–cn→ℂ)
23	22, 1	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
24	22, 5	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
25	23, 24	addcncf 15286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
26		cncfss 15257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
27	19, 20, 26	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
28		abscncf 15259	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
29	27, 28	sselii 3221	. . . . . . . 8 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	23, 24	subcncf 15287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	30, 31	cncfmpt1f 15272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	25, 32	subcncf 15287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34		2cn 9181	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		2ap0 9203	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
36		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 2 → (𝑦 # 0 ↔ 2 # 0))
37	36	elrab 2959	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
38	34, 35, 37	mpbir2an 948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}
39		cncfrss 15249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	1, 39	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
41		apsscn 8794	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ
42	41	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ)
43		cncfmptc 15270	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 2) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
44	38, 40, 42, 43	mp3an2i 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 2) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
45	33, 44	divcncfap 15288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
46		cncfcdm 15256	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ))
47	19, 45, 46	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ))
48	18, 47	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
49	11, 48	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  infcinf 7150  ℂcc 7997  ℝcr 7998  0cc0 7999   + caddc 8002   < clt 8181   − cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819  2c2 9161  abscabs 11508  –cn→ccncf 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119  ax-addf 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-cn 14862  df-cnp 14863  df-tx 14927  df-cncf 15245

This theorem is referenced by:  hovercncf  15320