Theorem maxcncf 15304

Description: The maximum of two continuous real functions is continuous. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxcncf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
maxcncf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
maxcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem maxcncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxcncf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
2		cncff 15266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
4	3	fvmptelcdm 5790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		maxcncf.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
6		cncff 15266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
8	7	fvmptelcdm 5790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		maxabs 11735	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
11	10	mpteq2dva 4174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
12	4, 8	readdcld 8187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	4, 8	resubcld 8538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	abscld 11707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	12, 15	readdcld 8187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
17	16	rehalfcld 9369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
18	17	fmpttd 5792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ)
19		ax-resscn 8102	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20		ssid 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
21		cncfss 15272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℝ) ⊆ (𝑋–cn→ℂ))
22	19, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋–cn→ℝ) ⊆ (𝑋–cn→ℂ)
23	22, 1	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
24	22, 5	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
25	23, 24	addcncf 15301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
26		cncfss 15272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
27	19, 20, 26	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
28		abscncf 15274	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
29	28	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
30	27, 29	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	23, 24	subcncf 15302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	30, 31	cncfmpt1f 15287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	25, 32	addcncf 15301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34		2cn 9192	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		2ap0 9214	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
36		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 2 → (𝑦 # 0 ↔ 2 # 0))
37	36	elrab 2959	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
38	34, 35, 37	mpbir2an 948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}
39		cncfrss 15264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	1, 39	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
41		apsscn 8805	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ
42	41	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ)
43		cncfmptc 15285	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 2) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
44	38, 40, 42, 43	mp3an2i 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 2) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
45	33, 44	divcncfap 15303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
46		cncfcdm 15271	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ))
47	19, 45, 46	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)):𝑋⟶ℝ))
48	18, 47	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) ∈ (𝑋–cn→ℝ))
49	11, 48	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ (𝑋–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  supcsup 7160  ℂcc 8008  ℝcr 8009  0cc0 8010   + caddc 8013   < clt 8192   − cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830  2c2 9172  abscabs 11523  –cn→ccncf 15259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-addf 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-map 6805  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-met 14524  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732  df-cn 14877  df-cnp 14878  df-tx 14942  df-cncf 15260

This theorem is referenced by:  hovercncf  15335