Theorem gausslemma2dlem5 16402

Description: Lemma 5 for gausslemma2d 16405. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem5a 16401	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6	1	gausslemma2dlem0a 16385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
8		4nn 9480	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
9		znq 10041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
12	4, 11	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	peano2zd 9783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14	1, 2	gausslemma2dlem0b 16386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
16	13, 15	fzfigd 10890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
17		neg1cn 9419	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → -1 ∈ ℂ)
19		elfzelz 10446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
20		2z 9684	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
21	20	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
22	19, 21	zmulcld 9786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 9781	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
25	16, 18, 24	fprodmul 12384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) -1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
26		fprodconst 12413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) -1 = ( -1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
27	16, 17, 26	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) -1 = ( -1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
28		nnoddn2prm 13069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
29		nnz 9675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
30		oddm1d2 12685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33	1, 28, 32	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
34	2, 33	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
35	1, 4, 2	gausslemma2dlem0f 16390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
36		eluz2 9944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐻))
37	13, 34, 35, 36	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
38		hashfz 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
40	34	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
41	12	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
42		1cnd 8349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43	40, 41, 42	nppcan2d 8671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝐻 − 𝑀))
44		gausslemma2d.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
45	43, 44	eqtr4di 2289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = 𝑁)
46	39, 45	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = 𝑁)
47	46	oveq2d 6104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))) = ( -1↑𝑁))
48	27, 47	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) -1 = ( -1↑𝑁))
49	48	oveq1d 6103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) -1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (( -1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
50	25, 49	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) = (( -1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
51	50	oveq1d 6103	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
52	5, 51	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = ((( -1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7027  ℂcc 8184  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   ≤ cle 8368   − cmin 8505   -cneg 8506   / cdiv 9011  ℕcn 9314  2c2 9365  4c4 9367  ℤcz 9656  ℤ_≥cuz 9938  ℚcq 10036  ...cfz 10429  ⌊cfl 10721   mod cmo 10781  ↑cexp 10997  ♯chash 11237  ∏cprod 12343   ∥ cdvds 12580  ℙcprime 12911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344  df-dvds 12581  df-prm 12912

This theorem is used by:  gausslemma2dlem6  16403