Theorem gausslemma2dlem5 16307

Description: Lemma 5 for gausslemma2d 16310. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem5a 16306	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6	1	gausslemma2dlem0a 16290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
8		4nn 9473	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
9		znq 10034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
12	4, 11	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	peano2zd 9776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14	1, 2	gausslemma2dlem0b 16291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
16	13, 15	fzfigd 10882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
17		neg1cn 9412	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → -1 ∈ ℂ)
19		elfzelz 10439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
20		2z 9677	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
21	20	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
22	19, 21	zmulcld 9779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 9774	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
25	16, 18, 24	fprodmul 12376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
26		fprodconst 12405	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
27	16, 17, 26	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
28		nnoddn2prm 13061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
29		nnz 9668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
30		oddm1d2 12677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33	1, 28, 32	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
34	2, 33	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
35	1, 4, 2	gausslemma2dlem0f 16295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
36		eluz2 9937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐻))
37	13, 34, 35, 36	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
38		hashfz 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
40	34	zcnd 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
41	12	zcnd 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
42		1cnd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43	40, 41, 42	nppcan2d 8665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝐻 − 𝑀))
44		gausslemma2d.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
45	43, 44	eqtr4di 2289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = 𝑁)
46	39, 45	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = 𝑁)
47	46	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))) = (-1↑𝑁))
48	27, 47	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑𝑁))
49	48	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
50	25, 49	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
51	50	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
52	5, 51	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℂcc 8178  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185   < clt 8361   ≤ cle 8362   − cmin 8499  -cneg 8500   / cdiv 9005  ℕcn 9307  2c2 9358  4c4 9360  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ℚcq 10029  ...cfz 10422  ⌊cfl 10714   mod cmo 10773  ↑cexp 10989  ♯chash 11229  ∏cprod 12335   ∥ cdvds 12572  ℙcprime 12903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10774  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-ihash 11230  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-clim 12063  df-proddc 12336  df-dvds 12573  df-prm 12904

This theorem is used by:  gausslemma2dlem6  16308