Theorem psrlidmfi 15199

Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrlidm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrlidmfi	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psrlidmfi

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrlidm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrringfi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		psr1cl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1cl.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		psr1cl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
11	1, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4	psr1clfi 15198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
12		psrlidm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5, 6, 7, 11, 12	psrmulclfi 15190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) Fn 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 12	psrelbas 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
18		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
22	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
24	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21, 22, 23	psrmulvalfi 15188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
25		breq1 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐼 × {0}) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ (𝐼 × {0}) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
26		fconstmpt 4824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
27	3	fczpsrbag 15165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
28	7, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
29	26, 28	eqeltrid 2325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
31	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
33	32	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) ∈ ℕ0)
34	33	nn0ge0d 9634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝑦‘𝑥))
35	34	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 0 ≤ (𝑦‘𝑥))
36		0nn0 9589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37	36	fconst6 5595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
38		ffn 5536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
39	37, 38	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
40	32	ffnd 5537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 Fn 𝐼)
41		inidm 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
42	36	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
43		fvconst2g 5932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
44	42, 43	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
45		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) = (𝑦‘𝑥))
46	39, 40, 22, 22, 41, 44, 45	ofrfval 6315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐼 × {0}) ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 0 ≤ (𝑦‘𝑥)))
47	35, 46	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∘𝑟 ≤ 𝑦)
48	25, 30, 47	elrabd 2984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
49	48	snssd 3860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {(𝐼 × {0})} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
50	49	resmptd 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))))
51	50	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
52	6	ringcmnd 14447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
53	52	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
54	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∈ Fin)
55	21, 22, 54	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∈ Fin)
56	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
57		breq1 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑧 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
58	57	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
59	58	bilani 387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐷)
61	1, 2, 3, 4, 19	psrelbas 15179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
62	61	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑈‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
63	60, 62	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑈‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
64	16	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
65	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝐷)
66	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
67	60, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
68	59	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦)
69	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
70	65, 67, 68, 69	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
71	70	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷)
72	64, 71	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
73	2, 18, 56, 63, 72	ringcld 14429	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
74	73	fmpttd 5866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}⟶(Base‘𝑅))
75		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) = (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))
76		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (𝑈‘𝑧) = (𝑈‘𝑝))
77		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))
78	77	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝)))
79	76, 78	oveq12d 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑈‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))))
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}))
81	80	eldifad 3231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑝 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
82	79	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 ↔ ((𝑈‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))) = 0 ))
83		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0})))
84	83	ifbid 3662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
85		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
86	85, 59	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
87	86	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑧 ∈ 𝐷)
88		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
89	88, 9	1unit 14523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
90	6, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
91		fn0g 13754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0g Fn V
92	6	elexd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
93		funfvex 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Fun 0g ∧ 𝑅 ∈ dom 0g) → (0g‘𝑅) ∈ V)
94	93	funfni 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (0g‘𝑅) ∈ V)
95	91, 92, 94	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
96	8, 95	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
97	90, 96	ifexd 4632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V)
98	97	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V)
99	10, 84, 87, 98	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈‘𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
100		eldifn 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
102		velsn 3726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
103	101, 102	sylnib 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
104	103	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
105	99, 104	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈‘𝑧) = 0 )
106	105	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))
107	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑅 ∈ Ring)
108	85, 72	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
109	2, 18, 8, 107, 108	ringlzd 14457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
110	106, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
111	110	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
112	111	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ∀𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
113	82, 112, 80	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))) = 0 )
114	2, 8	ring0cl 14433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
115	6, 114	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
116	115	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
117	113, 116	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))) ∈ (Base‘𝑅))
118	75, 79, 81, 117	fvmptd3 5802	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))‘𝑝) = ((𝑈‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))))
119	118, 113	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))‘𝑝) = 0 )
120	119	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ∀𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))‘𝑝) = 0 )
121		c0ex 8326	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
122	121	snex 4324	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ V
123		xpexg 4891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {0} ∈ V) → (𝐼 × {0}) ∈ V)
124	7, 122, 123	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ V)
125		snfig 7107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ V → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
126	124, 125	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
127	126	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
128	2, 8, 53, 55, 74, 120, 127, 49	gsumresfi 14263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
129		iftrue 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
130	90	elexd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
131	130	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 1 ∈ V)
132	10, 129, 30, 131	fvmptd3 5802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
133		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
134	133	subid1d 8633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 − 0) = 𝑧)
135	134	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
136	22, 32, 42, 135	caofid0r 6334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})) = 𝑦)
137	136	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0}))) = (𝑋‘𝑦))
138	132, 137	oveq12d 6106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑋‘𝑦)))
139	16	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
140	2, 18, 9	ringlidm 14435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑋‘𝑦)) = (𝑋‘𝑦))
141	23, 139, 140	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑋‘𝑦)) = (𝑋‘𝑦))
142	138, 141	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))) = (𝑋‘𝑦))
143	142, 139	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅))
144		fveq2 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑈‘𝑧) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
145		oveq2 6096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))
146	145	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = (𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0}))))
147	144, 146	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))))
148	2, 147	gsumsncmn 14246	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))))
149	53, 30, 143, 148	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))))
150	51, 128, 149	3eqtr3d 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘𝑓 − (𝐼 × {0})))))
151	24, 150, 142	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑋‘𝑦))
152	15, 17, 151	eqfnfvd 5812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   ↾ cres 4778   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  0cc0 8185   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240  1_rcur 14369  Ringcrg 14407  Unitcui 14502   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrringfi  15204