Theorem pcrec 12352

Description: Prime power of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcrec	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = -(𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9315	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9663	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		1ne0 9023	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	3, 4	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℚ ∧ 1 ≠ 0)
6		pcqdiv 12351	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℚ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)))
7	5, 6	mp3an2 1336	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)))
8		pc1 12349	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
10	9	oveq1d 5915	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴)))
11	7, 10	eqtrd 2222	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴)))
12		df-neg 8167	. 2 ⊢ -(𝑃 pCnt 𝐴) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴))
13	11, 12	eqtr4di 2240	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = -(𝑃 pCnt 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   − cmin 8164  -cneg 8165   / cdiv 8665  ℤcz 9289  ℚcq 9656  ℙcprime 12151   pCnt cpc 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-1o 6445  df-2o 6446  df-er 6563  df-en 6771  df-sup 7017  df-inf 7018  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-sub 8166  df-neg 8167  df-reap 8568  df-ap 8575  df-div 8666  df-inn 8956  df-2 9014  df-3 9015  df-4 9016  df-n0 9213  df-z 9290  df-uz 9565  df-q 9657  df-rp 9691  df-fz 10046  df-fzo 10180  df-fl 10308  df-mod 10361  df-seqfrec 10486  df-exp 10561  df-cj 10893  df-re 10894  df-im 10895  df-rsqrt 11049  df-abs 11050  df-dvds 11837  df-gcd 11986  df-prm 12152  df-pc 12329

This theorem is referenced by:  pcexp  12353