MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmznsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmznsg 19199
Description: Any subgroup is a normal subgroup of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
nmznsg.4 𝐻 = (𝐺s 𝑁)
Assertion
Ref Expression
nmznsg (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmznsg
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 elnmz.1 . . . 4 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
3 nmzsubg.2 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 nmzsubg.3 . . . 4 + = (+g𝐺)
52, 3, 4ssnmz 19197 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑁)
6 subgrcl 19162 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
72, 3, 4nmzsubg 19196 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 nmznsg.4 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝑁)
109subsubg 19180 . . . 4 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆𝑁)))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆𝑁)))
121, 5, 11mpbir2and 713 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
132ssrab3 4092 . . . . . 6 𝑁𝑋
1413sseli 3991 . . . . 5 (𝑤𝑁𝑤𝑋)
152nmzbi 19195 . . . . 5 ((𝑧𝑁𝑤𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
1614, 15sylan2 593 . . . 4 ((𝑧𝑁𝑤𝑁) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
1716rgen2 3197 . . 3 𝑧𝑁𝑤𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
189subgbas 19161 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
198, 18syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
2019raleqdv 3324 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑤𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
2119, 20raleqbidv 3344 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑧𝑁𝑤𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
2217, 21mpbii 233 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
23 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
243fvexi 6921 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2524, 13ssexi 5328 . . . 4 𝑁 ∈ V
269, 4ressplusg 17336 . . . 4 (𝑁 ∈ V → + = (+g𝐻))
2725, 26ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝐻)
2823, 27isnsg 19186 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
2912, 22, 28sylanbrc 583 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  19663  sylow3lem6  19665
  Copyright terms: Public domain W3C validator