MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmznsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmznsg 19186
Description: Any subgroup is a normal subgroup of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
nmznsg.4 𝐻 = (𝐺s 𝑁)
Assertion
Ref Expression
nmznsg (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmznsg
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 elnmz.1 . . . 4 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
3 nmzsubg.2 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 nmzsubg.3 . . . 4 + = (+g𝐺)
52, 3, 4ssnmz 19184 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑁)
6 subgrcl 19149 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
72, 3, 4nmzsubg 19183 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 nmznsg.4 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝑁)
109subsubg 19167 . . . 4 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆𝑁)))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆𝑁)))
121, 5, 11mpbir2and 713 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
132ssrab3 4082 . . . . . 6 𝑁𝑋
1413sseli 3979 . . . . 5 (𝑤𝑁𝑤𝑋)
152nmzbi 19182 . . . . 5 ((𝑧𝑁𝑤𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
1614, 15sylan2 593 . . . 4 ((𝑧𝑁𝑤𝑁) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
1716rgen2 3199 . . 3 𝑧𝑁𝑤𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
189subgbas 19148 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
198, 18syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
2019raleqdv 3326 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑤𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
2119, 20raleqbidv 3346 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑧𝑁𝑤𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
2217, 21mpbii 233 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
23 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
243fvexi 6920 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2524, 13ssexi 5322 . . . 4 𝑁 ∈ V
269, 4ressplusg 17334 . . . 4 (𝑁 ∈ V → + = (+g𝐻))
2725, 26ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝐻)
2823, 27isnsg 19173 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
2912, 22, 28sylanbrc 583 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  19648  sylow3lem6  19650
  Copyright terms: Public domain W3C validator