Theorem nmznsg 19140

Description: Any subgroup is a normal subgroup of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)
nmznsg.4	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nmznsg	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmznsg

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		elnmz.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
3		nmzsubg.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		nmzsubg.3	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	ssnmz 19138	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
6		subgrcl 19104	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	2, 3, 4	nmzsubg 19137	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		nmznsg.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑁)
10	9	subsubg 19122	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)))
12	1, 5, 11	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
13	2	ssrab3 4023	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑋
14	13	sseli 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑁 → 𝑤 ∈ 𝑋)
15	2	nmzbi 19136	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
16	14, 15	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
17	16	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑁 ∀𝑤 ∈ 𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
18	9	subgbas 19103	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
19	8, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
20	19	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑤 ∈ 𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
21	19, 20	raleqbidv 3312	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑧 ∈ 𝑁 ∀𝑤 ∈ 𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
22	17, 21	mpbii 233	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
23		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24	3	fvexi 6852	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
25	24, 13	ssexi 5262	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
26	9, 4	ressplusg 17251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
27	25, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐻)
28	23, 27	isnsg 19127	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
29	12, 22, 28	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176   ↾_s cress 17197  +_gcplusg 17217  Grpcgrp 18906  SubGrpcsubg 19093  NrmSGrpcnsg 19094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-subg 19096  df-nsg 19097

This theorem is referenced by:  sylow3lem4  19602  sylow3lem6  19604