Theorem 0ring01eq 20613

Description: In a ring with only one element, i.e. a zero ring, the zero and the identity element are the same. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )

Proof of Theorem 0ring01eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		0ring.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	0ring 20610	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
4		0ring01eq.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 4	ringidcl 20348	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
6		eleq2 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → ( 1 ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ { 0 }))
7		elsni 4611	. . . . . 6 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
8	7	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
9	6, 8	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝐵 = { 0 } → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
10	5, 9	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } → 0 = 1 ))
11	10	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝐵 = { 0 } → 0 = 1 ))
12	3, 11	mpd 16	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ‘cfv 6537  1c1 11101  ♯chash 14366  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  1_rcur 20263  Ringcrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317

This theorem is referenced by:  0ring01eqbi2  20616  0ring01eqbi  20617  0ring1eq0  20618  0ringmon1p  33792  lmod0rng  48883