Theorem 0ring01eq 20254

Description: In a ring with only one element, i.e. a zero ring, the zero and the identity element are the same. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )

Proof of Theorem 0ring01eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		0ring.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	0ring 20253	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
4		0ring01eq.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 4	ringidcl 20040	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
6		eleq2 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → ( 1 ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ { 0 }))
7		elsni 4639	. . . . . 6 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
8	7	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
9	6, 8	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (𝐵 = { 0 } → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
10	5, 9	syl5com 31	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } → 0 = 1 ))
11	10	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝐵 = { 0 } → 0 = 1 ))
12	3, 11	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4622  ‘cfv 6532  1c1 11093  ♯chash 14272  Basecbs 17126  0_gc0g 17367  1_rcur 19963  Ringcrg 20014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-hash 14273  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016

This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  20257  0ringmon1p  32481  lmod0rng  46414  0ring1eq0  46418