Theorem 0ring01eq 20414

Description: In a ring with only one element, i.e. a zero ring, the zero and the identity element are the same. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )

Proof of Theorem 0ring01eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		0ring.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	0ring 20411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
4		0ring01eq.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 4	ringidcl 20150	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
6		eleq2 2817	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → ( 1 ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ { 0 }))
7		elsni 4602	. . . . . 6 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
8	7	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
9	6, 8	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝐵 = { 0 } → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
10	5, 9	syl5com 31	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 = { 0 } → 0 = 1 ))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝐵 = { 0 } → 0 = 1 ))
12	3, 11	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585  ‘cfv 6499  1c1 11045  ♯chash 14271  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  1_rcur 20066  Ringcrg 20118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120

This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  20417  0ring1eq0  20418  0ringmon1p  33499  lmod0rng  48190