Theorem 0ring01eqbi 20616

Description: In a unital ring the zero equals the unity iff the ring is the zero ring. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eqbi	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashen1 14405	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4	2, 3	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
5		0ring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		0ring01eq.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	0ring01eq 20612	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
8	7	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 1 = 0 )
9	8	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 1 = 0 ))
10		eqcom 2776	. . . 4 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
11	1, 5, 6	01eq0ring 20613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
12		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
13	5	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14		hashsng 14404	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
15	13, 14	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘{ 0 }) = 1)
16	12, 15	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
17	11, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
18	17	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
19	10, 18	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → (♯‘𝐵) = 1))
20	9, 19	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 1 = 0 ))
21	4, 20	bitr3d 284	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  1_oc1o 8445   ≈ cen 8939  1c1 11100  ♯chash 14365  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316

This theorem is referenced by: (None)