Theorem 0ring01eqbi 20544

Description: In a unital ring the zero equals the unity iff the ring is the zero ring. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eqbi	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6788	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashen1 14085	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
5		0ring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		0ring01eq.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	0ring01eq 20542	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
8	7	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 1 = 0 )
9	8	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 1 = 0 ))
10		eqcom 2745	. . . 4 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
11	1, 5, 6	01eq0ring 20543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
12		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
13	5	fvexi 6788	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14		hashsng 14084	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘{ 0 }) = 1)
16	12, 15	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
17	11, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
18	17	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
19	10, 18	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → (♯‘𝐵) = 1))
20	9, 19	impbid 211	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 1 = 0 ))
21	4, 20	bitr3d 280	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  1_oc1o 8290   ≈ cen 8730  1c1 10872  ♯chash 14044  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785

This theorem is referenced by: (None)