Theorem 0ring01eqbi 20631

Description: In a unital ring the zero equals the unity iff the ring is the zero ring. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eqbi	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashen1 14402	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4	2, 3	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
5		0ring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		0ring01eq.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	0ring01eq 20627	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
8	7	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 1 = 0 )
9	8	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 1 = 0 ))
10		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
11	1, 5, 6	01eq0ring 20628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
12		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
13	5	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14		hashsng 14401	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
15	13, 14	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘{ 0 }) = 1)
16	12, 15	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
17	11, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
18	17	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
19	10, 18	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → (♯‘𝐵) = 1))
20	9, 19	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 1 = 0 ))
21	4, 20	bitr3d 284	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  1c1 11096  ♯chash 14362  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  Ringcrg 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312

This theorem is referenced by:  isidom3  49110