Theorem 0ring01eqbi 20436

Description: In a unital ring the zero equals the unity iff the ring is the zero ring. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring01eqbi	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6840	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashen1 14296	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
5		0ring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		0ring01eq.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	0ring01eq 20433	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
8	7	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 1 = 0 )
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 1 = 0 ))
10		eqcom 2736	. . . 4 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
11	1, 5, 6	01eq0ring 20434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
12		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
13	5	fvexi 6840	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14		hashsng 14295	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘{ 0 }) = 1)
16	12, 15	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
17	11, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
19	10, 18	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → (♯‘𝐵) = 1))
20	9, 19	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 1 = 0 ))
21	4, 20	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  1_oc1o 8388   ≈ cen 8876  1c1 11029  ♯chash 14256  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  1_rcur 20085  Ringcrg 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-hash 14257  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-plusg 17193  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139

This theorem is referenced by: (None)