Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ring01eqbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ring01eqbi 20115
 Description: In a unital ring the zero equals the unity iff the ring is the zero ring. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ring01eqbi (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6673 . . 3 𝐵 ∈ V
3 hashen1 13782 . . 3 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
42, 3mp1i 13 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
5 0ring.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
6 0ring01eq.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
71, 5, 60ring01eq 20113 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
87eqcomd 2765 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 1 = 0 )
98ex 417 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 1 = 0 ))
10 eqcom 2766 . . . 4 ( 1 = 00 = 1 )
111, 5, 601eq0ring 20114 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
12 fveq2 6659 . . . . . . 7 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
135fvexi 6673 . . . . . . . 8 0 ∈ V
14 hashsng 13781 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
1513, 14mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐵 = { 0 } → (♯‘{ 0 }) = 1)
1612, 15eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
1711, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
1817ex 417 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
1910, 18syl5bi 245 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → (♯‘𝐵) = 1))
209, 19impbid 215 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 1 = 0 ))
214, 20bitr3d 284 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o1 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410  {csn 4523   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  1oc1o 8106   ≈ cen 8525  1c1 10577  ♯chash 13741  Basecbs 16542  0gc0g 16772  1rcur 19320  Ringcrg 19366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-hash 13742  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-plusg 16637  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator