MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ring 20756
Description: If a ring has only one element, it is the zero ring. According to Wikipedia ("Zero ring", 14-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring): "The zero ring, denoted {0} or simply 0, consists of the one-element set {0} with the operations + and * defined so that 0 + 0 = 0 and 0 * 0 = 0.". (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 0ring.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 19997 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
41fvexi 6861 . . . . 5 𝐵 ∈ V
5 hashen1 14277 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o)
7 en1eqsn 9225 . . . . 5 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
87ex 414 . . . 4 ( 0𝐵 → (𝐵 ≈ 1o𝐵 = { 0 }))
96, 8biimtrid 241 . . 3 ( 0𝐵 → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
103, 9syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
1110imp 408 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591   class class class wbr 5110  cfv 6501  1oc1o 8410  cen 8887  1c1 11059  chash 14237  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Ringcrg 19971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-ring 19973
This theorem is referenced by:  0ring01eq  20757  01eq0ring  20758  0ringsubrg  32106  0ringidl  32242  0ringprmidl  32262  prmidl0  32263  0ringdif  46242  lindsrng01  46623
  Copyright terms: Public domain W3C validator