Theorem 0ring 20491

Description: If a ring has only one element, it is the zero ring. According to Wikipedia ("Zero ring", 14-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring): "The zero ring, denoted {0} or simply 0, consists of the one-element set {0} with the operations + and * defined so that 0 + 0 = 0 and 0 * 0 = 0.". (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 0ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		0ring.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20232	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
4	1	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		hashen1 14393	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o)
7		en1eqsn 9285	. . . . 5 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
8	7	ex 412	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 = { 0 }))
9	6, 8	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
11	10	imp 406	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  1_oc1o 8478   ≈ cen 8961  1c1 11135  ♯chash 14353  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  Ringcrg 20198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-ring 20200

This theorem is referenced by:  0ringdif  20492  0ring01eq  20494  01eq0ringOLD  20496  0ringsubrg  33251  0ringcring  33252  0ringidl  33441  0ringprmidl  33469  prmidl0  33470  lindsrng01  48411