Theorem 0ring 20541

Description: If a ring has only one element, it is the zero ring. According to Wikipedia ("Zero ring", 14-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring): "The zero ring, denoted {0} or simply 0, consists of the one-element set {0} with the operations + and * defined so that 0 + 0 = 0 and 0 * 0 = 0.". (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 0ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		0ring.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 19808	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
4	1	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		hashen1 14085	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o)
7		en1eqsn 9048	. . . . 5 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
8	7	ex 413	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 = { 0 }))
9	6, 8	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
11	10	imp 407	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  1_oc1o 8290   ≈ cen 8730  1c1 10872  ♯chash 14044  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ring 19785

This theorem is referenced by:  0ring01eq  20542  01eq0ring  20543  0ringidl  31605  0ringprmidl  31625  prmidl0  31626  0ringdif  45428  lindsrng01  45809