Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ring 20057
 Description: If a ring has only one element, it is the zero ring. According to Wikipedia ("Zero ring", 14-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring): "The zero ring, denoted {0} or simply 0, consists of the one-element set {0} with the operations + and * defined so that 0 + 0 = 0 and 0 * 0 = 0.". (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 0ring.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 19336 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
41fvexi 6669 . . . . 5 𝐵 ∈ V
5 hashen1 13747 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o)
7 en1eqsn 8750 . . . . 5 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
87ex 416 . . . 4 ( 0𝐵 → (𝐵 ≈ 1o𝐵 = { 0 }))
96, 8syl5bi 245 . . 3 ( 0𝐵 → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
103, 9syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
1110imp 410 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  {csn 4528   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  1oc1o 8096   ≈ cen 8507  1c1 10545  ♯chash 13706  Basecbs 16495  0gc0g 16725  Ringcrg 19311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-hash 13707  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-ring 19313 This theorem is referenced by:  0ring01eq  20058  01eq0ring  20059  0ringidl  31074  0ringprmidl  31094  prmidl0  31095  0ringdif  44662  lindsrng01  45043
 Copyright terms: Public domain W3C validator