Theorem 1pthon2ve 30737

Description: For each pair of adjacent vertices there is a path of length 1 from one vertex to the other in a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1pthon2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1pthon2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthon2ve	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓, 𝑝)   𝑉(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem 1pthon2ve

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
2		sseq2 3957	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 = {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4		ssidd 3954	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵})
5	1, 3, 4	rspcedvd 3579	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
6		1pthon2v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		1pthon2v.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	1pthon2v 30736	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)
9	5, 8	syl3an3 1183	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29556  Edgcedg 29607  UHGraphcuhgr 29616  PathsOncpthson 30279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-edg 29608  df-uhgr 29618  df-wlks 30162  df-wlkson 30163  df-trls 30257  df-trlson 30258  df-pths 30281  df-pthson 30283

This theorem is used by: (None)