Theorem 1pthon2ve 30174

Description: For each pair of adjacent vertices there is a path of length 1 from one vertex to the other in a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1pthon2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1pthon2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthon2ve	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 1pthon2ve

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
2		sseq2 4009	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 = {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4		ssidd 4006	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵})
5	1, 3, 4	rspcedvd 3623	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
6		1pthon2v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		1pthon2v.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	1pthon2v 30173	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)
9	5, 8	syl3an3 1165	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  UHGraphcuhgr 29074  PathsOncpthson 29733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-edg 29066  df-uhgr 29076  df-wlks 29618  df-wlkson 29619  df-trls 29711  df-trlson 29712  df-pths 29735  df-pthson 29737

This theorem is referenced by: (None)