Theorem 1pthon2ve 30410

Description: For each pair of adjacent vertices there is a path of length 1 from one vertex to the other in a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1pthon2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1pthon2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthon2ve	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 1pthon2ve

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
2		sseq2 3965	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
3	2	adantl 486	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 = {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4		ssidd 3962	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵})
5	1, 3, 4	rspcedvd 3586	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
6		1pthon2v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		1pthon2v.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	1pthon2v 30409	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)
9	5, 8	syl3an3 1181	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  {cpr 4587   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Vtxcvtx 29251  Edgcedg 29302  UHGraphcuhgr 29311  PathsOncpthson 29966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-s1 14622  df-s2 14873  df-edg 29303  df-uhgr 29313  df-wlks 29854  df-wlkson 29855  df-trls 29945  df-trlson 29946  df-pths 29968  df-pthson 29970

This theorem is referenced by: (None)