Theorem 2exp5 16796

Description: Two to the fifth power is 32. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp5	⊢ (2↑5) = ;32

Proof of Theorem 2exp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12133	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq2i 7295	. . 3 ⊢ (2↑5) = (2↑(3 + 2))
4		2cn 12057	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3nn0 12260	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		2nn0 12259	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		expadd 13834	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(3 + 2)) = ((2↑3) · (2↑2)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (2↑(3 + 2)) = ((2↑3) · (2↑2))
9		cu2 13926	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
10		sq2 13923	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
11	9, 10	oveq12i 7296	. . . 4 ⊢ ((2↑3) · (2↑2)) = (8 · 4)
12	8, 11	eqtri 2767	. . 3 ⊢ (2↑(3 + 2)) = (8 · 4)
13	3, 12	eqtri 2767	. 2 ⊢ (2↑5) = (8 · 4)
14		8t4e32 12563	. 2 ⊢ (8 · 4) = ;32
15	13, 14	eqtri 2767	1 ⊢ (2↑5) = ;32

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878   + caddc 10883   · cmul 10885  2c2 12037  3c3 12038  4c4 12039  5c5 12040  8c8 12043  ℕ₀cn0 12242  ;cdc 12446  ↑cexp 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-seq 13731  df-exp 13792

This theorem is referenced by:  3lexlogpow2ineq1  40073  m5prm  45061  2exp340mod341  45196  ackval3012  46049