Theorem 3lexlogpow2ineq1 42675

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq1	⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1564	. 2 ⊢ ⊤
2		8lt9 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < 9
3		2z 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzid 12854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
6		8nn 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
7		nnrp 13005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
9		9nn 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		nnrp 13005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ+
12	5, 8, 11	3pm3.2i 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+)
13		logblt 26849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+) → (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9))
15	2, 14	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb 8) < (2 logb 9)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) < (2 logb 9))
17		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 = 8
18		cu2 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
19	17, 18	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2↑3)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 = (2↑3))
21	20	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = (2 logb (2↑3)))
22		2rp 12998	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
25		1lt2 12390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
27	24, 26	ltned 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
28	27	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
29		3z 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℤ)
31	23, 28, 30	relogbexpd 42592	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑3)) = 3)
32	21, 31	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = 3)
33		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = 9
34		sq3 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
35	33, 34	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (3↑2)
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 = (3↑2))
37	36	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 9) = (2 logb (3↑2)))
38	16, 32, 37	3brtr3d 5131	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 < (2 logb (3↑2)))
39		3re 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11210	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
42		2re 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11210	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
45		2pos 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
47	46	gt0ne0d 11751	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
48	41, 44, 47	divcan1d 11968	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) = 3)
49	48	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 = ((3 / 2) · 2))
50		3pos 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
52	40, 51	elrpd 13034	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
53	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℤ)
54	23, 28, 52, 53	relogbzexpd 42593	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
55	43, 46, 40, 51, 28	relogbcld 42591	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11210	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℂ)
57	44, 56	mulcomd 11203	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2))
58	54, 57	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = ((2 logb 3) · 2))
59	38, 49, 58	3brtr3d 5131	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2))
60	40	rehalfcld 12468	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
61	60, 55, 23	ltmul1d 13078	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2)))
62	59, 61	mpbird 259	. . 3 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
63		2nn0 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
64		3nn0 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
65		7nn0 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
66		7lt10 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
67		2lt3 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 3
68	63, 64, 65, 63, 66, 67	decltc 12722	. . . . . . . 8 ⊢ ;27 < ;32
69		7nn 12310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
70	63, 69	decnncl 12712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
71		nnrp 13005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;27 ∈ ℕ → ;27 ∈ ℝ+)
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℝ+
73		2nn 12291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
74	64, 73	decnncl 12712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;32 ∈ ℕ
75		nnrp 13005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
77	5, 72, 76	3pm3.2i 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+)
78		logblt 26849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+) → (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
80	68, 79	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
82		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 = ;32
83		2exp5 17121	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑5) = ;32
84	82, 83	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 = (2↑5)
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ;32 = (2↑5))
86	85	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;32) = (2 logb (2↑5)))
87	81, 86	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb (2↑5)))
88		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 = ;27
89		3exp3 17127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) = ;27
90	88, 89	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 = (3↑3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;27 = (3↑3))
92	91	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (2 logb (3↑3)))
93	23, 28, 52, 30	relogbzexpd 42593	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑3)) = (3 · (2 logb 3)))
94	92, 93	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (3 · (2 logb 3)))
95	41, 56	mulcomd 11203	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 3))
96	94, 95	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = ((2 logb 3) · 3))
97		5re 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
99	98	recnd 11210	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
100	51	gt0ne0d 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
101	99, 41, 100	divcan1d 11968	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = 5)
102		5nn 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
104	103	nnzd 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℤ)
105	23, 28, 104	relogbexpd 42592	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = 5)
106	105	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 = (2 logb (2↑5)))
107	101, 106	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = (2 logb (2↑5)))
108	107	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = ((5 / 3) · 3))
109	87, 96, 108	3brtr3d 5131	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3))
110	98, 40, 100	redivcld 12019	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
111	55, 110, 52	ltmul1d 13078	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3)))
112	109, 111	mpbird 259	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
113	62, 112	jca 519	. 2 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
114	1, 113	ax-mp 5	1 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  5c5 12275  7c7 12277  8c8 12278  9c9 12279  ℤcz 12568  ;cdc 12688  ℤ_≥cuz 12839  ℝ⁺crp 12993  ↑cexp 14074   log_b clogb 26829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-limc 25928  df-dv 25929  df-log 26621  df-cxp 26622  df-logb 26830

This theorem is referenced by:  3lexlogpow2ineq2  42676  3lexlogpow5ineq5  42677  aks6d1c7lem1  42797