Theorem 3lexlogpow2ineq1 39651

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq1	⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1542	. 2 ⊢ ⊤
2		8lt9 11878	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < 9
3		2z 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzid 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
6		8nn 11774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
7		nnrp 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
9		9nn 11777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		nnrp 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ+
12	5, 8, 11	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+)
13		logblt 25474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+) → (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9))
15	2, 14	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb 8) < (2 logb 9)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) < (2 logb 9))
17		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 = 8
18		cu2 13618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
19	17, 18	eqtr4i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2↑3)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 = (2↑3))
21	20	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = (2 logb (2↑3)))
22		2rp 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 10685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
25		1lt2 11850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
27	24, 26	ltned 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
28	27	necomd 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
29		3z 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℤ)
31	23, 28, 30	relogbexpd 39566	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑3)) = 3)
32	21, 31	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = 3)
33		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = 9
34		sq3 13616	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
35	33, 34	eqtr4i 2784	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (3↑2)
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 = (3↑2))
37	36	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 9) = (2 logb (3↑2)))
38	16, 32, 37	3brtr3d 5066	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 < (2 logb (3↑2)))
39		3re 11759	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
41	40	recnd 10712	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
42		2re 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
44	43	recnd 10712	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
45		2pos 11782	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
47	46	gt0ne0d 11247	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
48	41, 44, 47	divcan1d 11460	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) = 3)
49	48	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 = ((3 / 2) · 2))
50		3pos 11784	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
52	40, 51	elrpd 12474	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
53	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℤ)
54	23, 28, 52, 53	relogbzexpd 39567	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
55	43, 46, 40, 51, 28	relogbcld 39565	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
56	55	recnd 10712	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℂ)
57	44, 56	mulcomd 10705	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2))
58	54, 57	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = ((2 logb 3) · 2))
59	38, 49, 58	3brtr3d 5066	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2))
60	40	rehalfcld 11926	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
61	60, 55, 23	ltmul1d 12518	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2)))
62	59, 61	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
63		2nn0 11956	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
64		3nn0 11957	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
65		7nn0 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
66		7lt10 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
67		2lt3 11851	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 3
68	63, 64, 65, 63, 66, 67	decltc 12171	. . . . . . . 8 ⊢ ;27 < ;32
69		7nn 11771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
70	63, 69	decnncl 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
71		nnrp 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;27 ∈ ℕ → ;27 ∈ ℝ+)
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℝ+
73		2nn 11752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
74	64, 73	decnncl 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;32 ∈ ℕ
75		nnrp 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
77	5, 72, 76	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+)
78		logblt 25474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+) → (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
80	68, 79	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
82		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 = ;32
83		2exp5 16482	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑5) = ;32
84	82, 83	eqtr4i 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 = (2↑5)
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ;32 = (2↑5))
86	85	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;32) = (2 logb (2↑5)))
87	81, 86	breqtrd 5061	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb (2↑5)))
88		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 = ;27
89		3exp3 16488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) = ;27
90	88, 89	eqtr4i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 = (3↑3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;27 = (3↑3))
92	91	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (2 logb (3↑3)))
93	23, 28, 52, 30	relogbzexpd 39567	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑3)) = (3 · (2 logb 3)))
94	92, 93	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (3 · (2 logb 3)))
95	41, 56	mulcomd 10705	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 3))
96	94, 95	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = ((2 logb 3) · 3))
97		5re 11766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
99	98	recnd 10712	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
100	51	gt0ne0d 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
101	99, 41, 100	divcan1d 11460	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = 5)
102		5nn 11765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
104	103	nnzd 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℤ)
105	23, 28, 104	relogbexpd 39566	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = 5)
106	105	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 = (2 logb (2↑5)))
107	101, 106	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = (2 logb (2↑5)))
108	107	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = ((5 / 3) · 3))
109	87, 96, 108	3brtr3d 5066	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3))
110	98, 40, 100	redivcld 11511	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
111	55, 110, 52	ltmul1d 12518	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3)))
112	109, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
113	62, 112	jca 515	. 2 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
114	1, 113	ax-mp 5	1 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   · cmul 10585   < clt 10718   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  3c3 11735  5c5 11737  7c7 11739  8c8 11740  9c9 11741  ℤcz 12025  ;cdc 12142  ℤ_≥cuz 12287  ℝ⁺crp 12435  ↑cexp 13484   log_b clogb 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cxp 25253  df-logb 25455

This theorem is referenced by:  3lexlogpow2ineq2  39652  3lexlogpow5ineq5  39653