Theorem 3lexlogpow2ineq1 39708

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq1	⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1546	. 2 ⊢ ⊤
2		8lt9 11917	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < 9
3		2z 12097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzid 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
6		8nn 11813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
7		nnrp 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
9		9nn 11816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		nnrp 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ+
12	5, 8, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+)
13		logblt 25524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+) → (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9))
15	2, 14	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb 8) < (2 logb 9)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) < (2 logb 9))
17		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 = 8
18		cu2 13657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
19	17, 18	eqtr4i 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2↑3)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 = (2↑3))
21	20	oveq2d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = (2 logb (2↑3)))
22		2rp 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 10722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
25		1lt2 11889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
27	24, 26	ltned 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
28	27	necomd 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
29		3z 12098	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℤ)
31	23, 28, 30	relogbexpd 39623	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑3)) = 3)
32	21, 31	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = 3)
33		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = 9
34		sq3 13655	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
35	33, 34	eqtr4i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (3↑2)
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 = (3↑2))
37	36	oveq2d 7188	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 9) = (2 logb (3↑2)))
38	16, 32, 37	3brtr3d 5061	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 < (2 logb (3↑2)))
39		3re 11798	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
41	40	recnd 10749	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
42		2re 11792	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
44	43	recnd 10749	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
45		2pos 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
47	46	gt0ne0d 11284	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
48	41, 44, 47	divcan1d 11497	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) = 3)
49	48	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 = ((3 / 2) · 2))
50		3pos 11823	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
52	40, 51	elrpd 12513	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
53	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℤ)
54	23, 28, 52, 53	relogbzexpd 39624	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
55	43, 46, 40, 51, 28	relogbcld 39622	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
56	55	recnd 10749	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℂ)
57	44, 56	mulcomd 10742	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2))
58	54, 57	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = ((2 logb 3) · 2))
59	38, 49, 58	3brtr3d 5061	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2))
60	40	rehalfcld 11965	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
61	60, 55, 23	ltmul1d 12557	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2)))
62	59, 61	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
63		2nn0 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
64		3nn0 11996	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
65		7nn0 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
66		7lt10 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
67		2lt3 11890	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 3
68	63, 64, 65, 63, 66, 67	decltc 12210	. . . . . . . 8 ⊢ ;27 < ;32
69		7nn 11810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
70	63, 69	decnncl 12201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
71		nnrp 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;27 ∈ ℕ → ;27 ∈ ℝ+)
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℝ+
73		2nn 11791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
74	64, 73	decnncl 12201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;32 ∈ ℕ
75		nnrp 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
77	5, 72, 76	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+)
78		logblt 25524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+) → (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
80	68, 79	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
82		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 = ;32
83		2exp5 16524	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑5) = ;32
84	82, 83	eqtr4i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 = (2↑5)
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ;32 = (2↑5))
86	85	oveq2d 7188	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;32) = (2 logb (2↑5)))
87	81, 86	breqtrd 5056	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb (2↑5)))
88		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 = ;27
89		3exp3 16530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) = ;27
90	88, 89	eqtr4i 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 = (3↑3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;27 = (3↑3))
92	91	oveq2d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (2 logb (3↑3)))
93	23, 28, 52, 30	relogbzexpd 39624	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑3)) = (3 · (2 logb 3)))
94	92, 93	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (3 · (2 logb 3)))
95	41, 56	mulcomd 10742	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 3))
96	94, 95	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = ((2 logb 3) · 3))
97		5re 11805	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
99	98	recnd 10749	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
100	51	gt0ne0d 11284	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
101	99, 41, 100	divcan1d 11497	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = 5)
102		5nn 11804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
104	103	nnzd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℤ)
105	23, 28, 104	relogbexpd 39623	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = 5)
106	105	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 = (2 logb (2↑5)))
107	101, 106	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = (2 logb (2↑5)))
108	107	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = ((5 / 3) · 3))
109	87, 96, 108	3brtr3d 5061	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3))
110	98, 40, 100	redivcld 11548	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
111	55, 110, 52	ltmul1d 12557	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3)))
112	109, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
113	62, 112	jca 515	. 2 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
114	1, 113	ax-mp 5	1 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172  ℝcr 10616  0cc0 10617  1c1 10618   · cmul 10622   < clt 10755   / cdiv 11377  ℕcn 11718  2c2 11773  3c3 11774  5c5 11776  7c7 11778  8c8 11779  9c9 11780  ℤcz 12064  ;cdc 12181  ℤ_≥cuz 12326  ℝ⁺crp 12474  ↑cexp 13523   log_b clogb 25504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695  ax-addf 10696  ax-mulf 10697

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-ioc 12828  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-fac 13728  df-bc 13757  df-hash 13785  df-shft 14518  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-limsup 14920  df-clim 14937  df-rlim 14938  df-sum 15138  df-ef 15515  df-sin 15517  df-cos 15518  df-pi 15520  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-starv 16685  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-unif 16693  df-hom 16694  df-cco 16695  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-topgen 16822  df-pt 16823  df-prds 16826  df-xrs 16880  df-qtop 16885  df-imas 16886  df-xps 16888  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-mulg 18345  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-cnfld 20220  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-nei 21851  df-lp 21889  df-perf 21890  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-haus 22068  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-fil 22599  df-fm 22691  df-flim 22692  df-flf 22693  df-xms 23075  df-ms 23076  df-tms 23077  df-cncf 23632  df-limc 24620  df-dv 24621  df-log 25302  df-cxp 25303  df-logb 25505

This theorem is referenced by:  3lexlogpow2ineq2  39709  3lexlogpow5ineq5  39710