Theorem 3lexlogpow2ineq1 42857

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq1	⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		8lt9 12452	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < 9
3		2z 12636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzid 12887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
6		8nn 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
7		nnrp 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
9		9nn 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		nnrp 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ+
12	5, 8, 11	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+)
13		logblt 26964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+) → (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9))
15	2, 14	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb 8) < (2 logb 9)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) < (2 logb 9))
17		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 = 8
18		cu2 14247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
19	17, 18	eqtr4i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2↑3)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 = (2↑3))
21	20	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = (2 logb (2↑3)))
22		2rp 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
25		1lt2 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
27	24, 26	ltned 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
28	27	necomd 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
29		3z 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℤ)
31	23, 28, 30	relogbexpd 42774	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑3)) = 3)
32	21, 31	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = 3)
33		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = 9
34		sq3 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
35	33, 34	eqtr4i 2792	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (3↑2)
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 = (3↑2))
37	36	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 9) = (2 logb (3↑2)))
38	16, 32, 37	3brtr3d 5145	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 < (2 logb (3↑2)))
39		3re 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
42		2re 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
45		2pos 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
47	46	gt0ne0d 11788	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
48	41, 44, 47	divcan1d 12002	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) = 3)
49	48	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 = ((3 / 2) · 2))
50		3pos 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
52	40, 51	elrpd 13067	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
53	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℤ)
54	23, 28, 52, 53	relogbzexpd 42775	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
55	43, 46, 40, 51, 28	relogbcld 42773	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℂ)
57	44, 56	mulcomd 11240	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2))
58	54, 57	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = ((2 logb 3) · 2))
59	38, 49, 58	3brtr3d 5145	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2))
60	40	rehalfcld 12501	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
61	60, 55, 23	ltmul1d 13111	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2)))
62	59, 61	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
63		2nn0 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
64		3nn0 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
65		7nn0 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
66		7lt10 12860	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
67		2lt3 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 3
68	63, 64, 65, 63, 66, 67	decltc 12755	. . . . . . . 8 ⊢ ;27 < ;32
69		7nn 12343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
70	63, 69	decnncl 12745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
71		nnrp 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;27 ∈ ℕ → ;27 ∈ ℝ+)
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℝ+
73		2nn 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
74	64, 73	decnncl 12745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;32 ∈ ℕ
75		nnrp 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
77	5, 72, 76	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+)
78		logblt 26964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+) → (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
80	68, 79	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
82		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 = ;32
83		2exp5 17155	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑5) = ;32
84	82, 83	eqtr4i 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 = (2↑5)
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ;32 = (2↑5))
86	85	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;32) = (2 logb (2↑5)))
87	81, 86	breqtrd 5140	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb (2↑5)))
88		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 = ;27
89		3exp3 17161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) = ;27
90	88, 89	eqtr4i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 = (3↑3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;27 = (3↑3))
92	91	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (2 logb (3↑3)))
93	23, 28, 52, 30	relogbzexpd 42775	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑3)) = (3 · (2 logb 3)))
94	92, 93	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (3 · (2 logb 3)))
95	41, 56	mulcomd 11240	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 3))
96	94, 95	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = ((2 logb 3) · 3))
97		5re 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
99	98	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
100	51	gt0ne0d 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
101	99, 41, 100	divcan1d 12002	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = 5)
102		5nn 12337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
104	103	nnzd 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℤ)
105	23, 28, 104	relogbexpd 42774	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = 5)
106	105	eqcomd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 = (2 logb (2↑5)))
107	101, 106	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = (2 logb (2↑5)))
108	107	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = ((5 / 3) · 3))
109	87, 96, 108	3brtr3d 5145	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3))
110	98, 40, 100	redivcld 12053	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
111	55, 110, 52	ltmul1d 13111	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3)))
112	109, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
113	62, 112	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
114	1, 113	ax-mp 5	1 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   < clt 11253   / cdiv 11881  ℕcn 12243  2c2 12305  3c3 12306  5c5 12308  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  ℤcz 12601  ;cdc 12721  ℤ_≥cuz 12872  ℝ⁺crp 13026  ↑cexp 14108   log_b clogb 26944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-ioo 13386  df-ioc 13387  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14321  df-bc 14350  df-hash 14378  df-shft 15115  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-limsup 15533  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749  df-ef 16131  df-sin 16133  df-cos 16134  df-pi 16136  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-rest 17485  df-topn 17486  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-topgen 17506  df-pt 17507  df-prds 17510  df-xrs 17566  df-qtop 17571  df-imas 17572  df-xps 17574  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-mulg 19144  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-fbas 21534  df-fg 21535  df-cnfld 21538  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-cld 23191  df-ntr 23192  df-cls 23193  df-nei 23270  df-lp 23308  df-perf 23309  df-cn 23399  df-cnp 23400  df-haus 23487  df-tx 23734  df-hmeo 23927  df-fil 24018  df-fm 24110  df-flim 24111  df-flf 24112  df-xms 24492  df-ms 24493  df-tms 24494  df-cncf 25052  df-limc 26040  df-dv 26041  df-log 26736  df-cxp 26737  df-logb 26945

This theorem is used by:  3lexlogpow2ineq2  42858  3lexlogpow5ineq5  42859  aks6d1c7lem1  42979