Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow2ineq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow2ineq1 40912
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow2ineq1 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq1
StepHypRef Expression
1 tru 1546 . 2
2 8lt9 12408 . . . . . . . 8 8 < 9
3 2z 12591 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4 uzid 12834 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (ℤ‘2)
6 8nn 12304 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
7 nnrp 12982 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
9 9nn 12307 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
10 nnrp 12982 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℝ+
125, 8, 113pm3.2i 1340 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+)
13 logblt 26279 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+) → (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9))
152, 14mpbi 229 . . . . . . 7 (2 logb 8) < (2 logb 9)
1615a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 8) < (2 logb 9))
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 8 = 8
18 cu2 14161 . . . . . . . . . 10 (2↑3) = 8
1917, 18eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 8 = (2↑3)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 8 = (2↑3))
2120oveq2d 7422 . . . . . . 7 (⊤ → (2 logb 8) = (2 logb (2↑3)))
22 2rp 12976 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
24 1red 11212 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
25 1lt2 12380 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 < 2)
2724, 26ltned 11347 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ≠ 2)
2827necomd 2997 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ≠ 1)
29 3z 12592 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 3 ∈ ℤ)
3123, 28, 30relogbexpd 40828 . . . . . . 7 (⊤ → (2 logb (2↑3)) = 3)
3221, 31eqtrd 2773 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 8) = 3)
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 9 = 9
34 sq3 14159 . . . . . . . . 9 (3↑2) = 9
3533, 34eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 9 = (3↑2)
3635a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 = (3↑2))
3736oveq2d 7422 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 9) = (2 logb (3↑2)))
3816, 32, 373brtr3d 5179 . . . . 5 (⊤ → 3 < (2 logb (3↑2)))
39 3re 12289 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
4140recnd 11239 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
42 2re 12283 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4443recnd 11239 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
45 2pos 12312 . . . . . . . . 9 0 < 2
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < 2)
4746gt0ne0d 11775 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ≠ 0)
4841, 44, 47divcan1d 11988 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) · 2) = 3)
4948eqcomd 2739 . . . . 5 (⊤ → 3 = ((3 / 2) · 2))
50 3pos 12314 . . . . . . . . 9 0 < 3
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < 3)
5240, 51elrpd 13010 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
533a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℤ)
5423, 28, 52, 53relogbzexpd 40829 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
5543, 46, 40, 51, 28relogbcld 40827 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
5655recnd 11239 . . . . . . 7 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℂ)
5744, 56mulcomd 11232 . . . . . 6 (⊤ → (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2))
5854, 57eqtrd 2773 . . . . 5 (⊤ → (2 logb (3↑2)) = ((2 logb 3) · 2))
5938, 49, 583brtr3d 5179 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2))
6040rehalfcld 12456 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
6160, 55, 23ltmul1d 13054 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2)))
6259, 61mpbird 257 . . 3 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
63 2nn0 12486 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
64 3nn0 12487 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
65 7nn0 12491 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
66 7lt10 12807 . . . . . . . . 9 7 < 10
67 2lt3 12381 . . . . . . . . 9 2 < 3
6863, 64, 65, 63, 66, 67decltc 12703 . . . . . . . 8 27 < 32
69 7nn 12301 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ
7063, 69decnncl 12694 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ
71 nnrp 12982 . . . . . . . . . . 11 (27 ∈ ℕ → 27 ∈ ℝ+)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 27 ∈ ℝ+
73 2nn 12282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7464, 73decnncl 12694 . . . . . . . . . . 11 32 ∈ ℕ
75 nnrp 12982 . . . . . . . . . . 11 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 32 ∈ ℝ+
775, 72, 763pm3.2i 1340 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 27 ∈ ℝ+32 ∈ ℝ+)
78 logblt 26279 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 27 ∈ ℝ+32 ∈ ℝ+) → (27 < 32 ↔ (2 logb 27) < (2 logb 32)))
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 (27 < 32 ↔ (2 logb 27) < (2 logb 32))
8068, 79mpbi 229 . . . . . . 7 (2 logb 27) < (2 logb 32)
8180a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 27) < (2 logb 32))
82 eqid 2733 . . . . . . . . 9 32 = 32
83 2exp5 17016 . . . . . . . . 9 (2↑5) = 32
8482, 83eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 32 = (2↑5)
8584a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 32 = (2↑5))
8685oveq2d 7422 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 32) = (2 logb (2↑5)))
8781, 86breqtrd 5174 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 27) < (2 logb (2↑5)))
88 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 27 = 27
89 3exp3 17022 . . . . . . . . . 10 (3↑3) = 27
9088, 89eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 27 = (3↑3)
9190a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 27 = (3↑3))
9291oveq2d 7422 . . . . . . 7 (⊤ → (2 logb 27) = (2 logb (3↑3)))
9323, 28, 52, 30relogbzexpd 40829 . . . . . . 7 (⊤ → (2 logb (3↑3)) = (3 · (2 logb 3)))
9492, 93eqtrd 2773 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 27) = (3 · (2 logb 3)))
9541, 56mulcomd 11232 . . . . . 6 (⊤ → (3 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 3))
9694, 95eqtrd 2773 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 27) = ((2 logb 3) · 3))
97 5re 12296 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
9897a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
9998recnd 11239 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
10051gt0ne0d 11775 . . . . . . . 8 (⊤ → 3 ≠ 0)
10199, 41, 100divcan1d 11988 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 / 3) · 3) = 5)
102 5nn 12295 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 5 ∈ ℕ)
104103nnzd 12582 . . . . . . . . 9 (⊤ → 5 ∈ ℤ)
10523, 28, 104relogbexpd 40828 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 logb (2↑5)) = 5)
106105eqcomd 2739 . . . . . . 7 (⊤ → 5 = (2 logb (2↑5)))
107101, 106eqtrd 2773 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3) · 3) = (2 logb (2↑5)))
108107eqcomd 2739 . . . . 5 (⊤ → (2 logb (2↑5)) = ((5 / 3) · 3))
10987, 96, 1083brtr3d 5179 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3))
11098, 40, 100redivcld 12039 . . . . 5 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
11155, 110, 52ltmul1d 13054 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3)))
112109, 111mpbird 257 . . 3 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
11362, 112jca 513 . 2 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
1141, 113ax-mp 5 1 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   < clt 11245   / cdiv 11868  cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  5c5 12267  7c7 12269  8c8 12270  9c9 12271  cz 12555  cdc 12674  cuz 12819  +crp 12971  cexp 14024   logb clogb 26259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cxp 26058  df-logb 26260
This theorem is referenced by:  3lexlogpow2ineq2  40913  3lexlogpow5ineq5  40914
  Copyright terms: Public domain W3C validator