Theorem 3lexlogpow2ineq1 42543

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq1	⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1551	. 2 ⊢ ⊤
2		8lt9 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < 9
3		2z 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzid 12794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
6		8nn 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
7		nnrp 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
9		9nn 12270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		nnrp 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ+
12	5, 8, 11	3pm3.2i 1346	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+)
13		logblt 26766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 9 ∈ ℝ+) → (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 9 ↔ (2 logb 8) < (2 logb 9))
15	2, 14	mpbi 231	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb 8) < (2 logb 9)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) < (2 logb 9))
17		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 = 8
18		cu2 14153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
19	17, 18	eqtr4i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2↑3)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 = (2↑3))
21	20	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = (2 logb (2↑3)))
22		2rp 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
25		1lt2 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
27	24, 26	ltned 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
28	27	necomd 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
29		3z 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℤ)
31	23, 28, 30	relogbexpd 42460	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑3)) = 3)
32	21, 31	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 8) = 3)
33		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = 9
34		sq3 14151	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
35	33, 34	eqtr4i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (3↑2)
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 = (3↑2))
37	36	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 9) = (2 logb (3↑2)))
38	16, 32, 37	3brtr3d 5103	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 < (2 logb (3↑2)))
39		3re 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
42		2re 12246	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
45		2pos 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
47	46	gt0ne0d 11705	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
48	41, 44, 47	divcan1d 11923	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) = 3)
49	48	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 = ((3 / 2) · 2))
50		3pos 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
52	40, 51	elrpd 12974	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
53	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℤ)
54	23, 28, 52, 53	relogbzexpd 42461	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
55	43, 46, 40, 51, 28	relogbcld 42459	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℂ)
57	44, 56	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2))
58	54, 57	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑2)) = ((2 logb 3) · 2))
59	38, 49, 58	3brtr3d 5103	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2))
60	40	rehalfcld 12415	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
61	60, 55, 23	ltmul1d 13018	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2) · 2) < ((2 logb 3) · 2)))
62	59, 61	mpbird 258	. . 3 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
63		2nn0 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
64		3nn0 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
65		7nn0 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
66		7lt10 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
67		2lt3 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 3
68	63, 64, 65, 63, 66, 67	decltc 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ;27 < ;32
69		7nn 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
70	63, 69	decnncl 12655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
71		nnrp 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;27 ∈ ℕ → ;27 ∈ ℝ+)
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℝ+
73		2nn 12245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
74	64, 73	decnncl 12655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;32 ∈ ℕ
75		nnrp 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
77	5, 72, 76	3pm3.2i 1346	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+)
78		logblt 26766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;27 ∈ ℝ+ ∧ ;32 ∈ ℝ+) → (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (;27 < ;32 ↔ (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
80	68, 79	mpbi 231	. . . . . . 7 ⊢ (2 logb ;27) < (2 logb ;32)
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb ;32))
82		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 = ;32
83		2exp5 17047	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑5) = ;32
84	82, 83	eqtr4i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 = (2↑5)
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ;32 = (2↑5))
86	85	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;32) = (2 logb (2↑5)))
87	81, 86	breqtrd 5098	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) < (2 logb (2↑5)))
88		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 = ;27
89		3exp3 17053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) = ;27
90	88, 89	eqtr4i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 = (3↑3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;27 = (3↑3))
92	91	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (2 logb (3↑3)))
93	23, 28, 52, 30	relogbzexpd 42461	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 logb (3↑3)) = (3 · (2 logb 3)))
94	92, 93	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = (3 · (2 logb 3)))
95	41, 56	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 3))
96	94, 95	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb ;27) = ((2 logb 3) · 3))
97		5re 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
99	98	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
100	51	gt0ne0d 11705	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
101	99, 41, 100	divcan1d 11923	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = 5)
102		5nn 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
104	103	nnzd 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℤ)
105	23, 28, 104	relogbexpd 42460	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = 5)
106	105	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 = (2 logb (2↑5)))
107	101, 106	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · 3) = (2 logb (2↑5)))
108	107	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb (2↑5)) = ((5 / 3) · 3))
109	87, 96, 108	3brtr3d 5103	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3))
110	98, 40, 100	redivcld 11974	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
111	55, 110, 52	ltmul1d 13018	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3) · 3) < ((5 / 3) · 3)))
112	109, 111	mpbird 258	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
113	62, 112	jca 516	. 2 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
114	1, 113	ax-mp 5	1 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  5c5 12230  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ℤcz 12515  ;cdc 12635  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014   log_b clogb 26746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-cxp 26539  df-logb 26747

This theorem is referenced by:  3lexlogpow2ineq2  42544  3lexlogpow5ineq5  42545  aks6d1c7lem1  42665