Theorem 3cyclfrgrrn 30374

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrrn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgrrn1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6849	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashgt12el2 14379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
4	2, 3	mp3an1 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
6		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
7	6	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
9		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎 ≠ 𝑥)
10		3cyclfrgrrn1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	1, 10	3cyclfrgrrn1 30373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
12	5, 8, 9, 11	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
13	12	3exp1 1354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
14	13	rexlimiv 3132	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
16	15	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
17	16	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
18	17	com13 88	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
19	18	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
20	19	ralrimiv 3129	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  1c1 11033   < clt 11173  ♯chash 14286  Vtxcvtx 29082  Edgcedg 29133   FriendGraph cfrgr 30346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-edg 29134  df-umgr 29169  df-usgr 29237  df-frgr 30347

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn2  30375  3cyclfrgr  30376