Theorem 3cyclfrgrrn 30769

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrrn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgrrn1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6893	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashgt12el2 14491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
4	2, 3	mp3an1 1477	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
6		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
7	6	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
9		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎 ≠ 𝑥)
10		3cyclfrgrrn1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	1, 10	3cyclfrgrrn1 30768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
12	5, 8, 9, 11	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
13	12	3exp1 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
14	13	rexlimiv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
16	15	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
17	16	pm2.43a 55	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
18	17	com13 89	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
19	18	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
20	19	ralrimiv 3153	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  1c1 11128   < clt 11270  ♯chash 14397  Vtxcvtx 29456  Edgcedg 29507   FriendGraph cfrgr 30741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-hash 14398  df-edg 29508  df-umgr 29543  df-usgr 29614  df-frgr 30742

This theorem is used by:  3cyclfrgrrn2  30770  3cyclfrgr  30771