Theorem 3cyclfrgrrn 28551

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrrn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgrrn1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6770	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashgt12el2 14066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
4	2, 3	mp3an1 1446	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
6		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
7	6	3adant2 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
9		simpl2 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎 ≠ 𝑥)
10		3cyclfrgrrn1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	1, 10	3cyclfrgrrn1 28550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
12	5, 8, 9, 11	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
13	12	3exp1 1350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
14	13	rexlimiv 3208	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
16	15	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
17	16	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
18	17	com13 88	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
19	18	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
20	19	ralrimiv 3106	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  1c1 10803   < clt 10940  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320   FriendGraph cfrgr 28523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-frgr 28524

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn2  28552  3cyclfrgr  28553