MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgrrn 30070
Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3cyclfrgrrn1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrrn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgrrn1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
3 hashgt12el2 14400 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉) → ∃𝑥𝑉 𝑎𝑥)
42, 3mp3an1 1445 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉) → ∃𝑥𝑉 𝑎𝑥)
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
6 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑉𝑎𝑉) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
763adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
9 simpl2 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎𝑥)
10 3cyclfrgrrn1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edg‘𝐺)
111, 103cyclfrgrrn1 30069 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑥𝑉) ∧ 𝑎𝑥) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
125, 8, 9, 11syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
13123exp1 1350 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → (𝑎𝑥 → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
1413rexlimiv 3143 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑉 𝑎𝑥 → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
154, 14syl 17 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1615expcom 413 . . . . 5 (𝑎𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
1716pm2.43a 54 . . . 4 (𝑎𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1817com13 88 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1918imp 406 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑎𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
2019ralrimiv 3140 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  Vcvv 3469  {cpr 4626   class class class wbr 5142  cfv 6542  1c1 11125   < clt 11264  chash 14307  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834   FriendGraph cfrgr 30042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-umgr 28870  df-usgr 28938  df-frgr 30043
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn2  30071  3cyclfrgr  30072
  Copyright terms: Public domain W3C validator