MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgrrn 30305
Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3cyclfrgrrn1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrrn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgrrn1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
3 hashgt12el2 14462 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉) → ∃𝑥𝑉 𝑎𝑥)
42, 3mp3an1 1450 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉) → ∃𝑥𝑉 𝑎𝑥)
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
6 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑉𝑎𝑉) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
763adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
9 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎𝑥)
10 3cyclfrgrrn1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edg‘𝐺)
111, 103cyclfrgrrn1 30304 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑥𝑉) ∧ 𝑎𝑥) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
125, 8, 9, 11syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑉𝑎𝑥𝑎𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
13123exp1 1353 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → (𝑎𝑥 → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
1413rexlimiv 3148 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑉 𝑎𝑥 → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
154, 14syl 17 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1615expcom 413 . . . . 5 (𝑎𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
1716pm2.43a 54 . . . 4 (𝑎𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1817com13 88 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1918imp 406 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑎𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
2019ralrimiv 3145 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  1c1 11156   < clt 11295  chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   FriendGraph cfrgr 30277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-umgr 29100  df-usgr 29168  df-frgr 30278
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn2  30306  3cyclfrgr  30307
  Copyright terms: Public domain W3C validator