Theorem 3cyclfrgrrn 28650

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrrn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgrrn1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6788	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashgt12el2 14138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
4	2, 3	mp3an1 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥)
5		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
6		pm3.22 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
7	6	3adant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
9		simpl2 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎 ≠ 𝑥)
10		3cyclfrgrrn1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	1, 10	3cyclfrgrrn1 28649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
12	5, 8, 9, 11	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
13	12	3exp1 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
14	13	rexlimiv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
16	15	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
17	16	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
18	17	com13 88	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (♯‘𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
19	18	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑎 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
20	19	ralrimiv 3102	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  1c1 10872   < clt 11009  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417   FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-umgr 27453  df-usgr 27521  df-frgr 28623

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn2  28651  3cyclfrgr  28652