Theorem 8even 43871

Description: 8 is an even number. (Contributed by AV, 23-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8even	⊢ 8 ∈ Even

Proof of Theorem 8even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11726	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12000	. 2 ⊢ 8 ∈ ℤ
3		4t2e8 11799	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
4	3	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ 8 = (4 · 2)
5	4	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ (8 / 2) = ((4 · 2) / 2)
6		4cn 11716	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 11706	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		2ne0 11735	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
9	6, 7, 8	divcan4i 11381	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) / 2) = 4
10	5, 9	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (8 / 2) = 4
11		4z 12010	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	10, 11	eqeltri 2909	. 2 ⊢ (8 / 2) ∈ ℤ
13		iseven 43786	. 2 ⊢ (8 ∈ Even ↔ (8 ∈ ℤ ∧ (8 / 2) ∈ ℤ))
14	2, 12, 13	mpbir2an 709	1 ⊢ 8 ∈ Even

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150   · cmul 10536   / cdiv 11291  2c2 11686  4c4 11688  8c8 11692  ℤcz 11975   Even ceven 43782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-z 11976  df-even 43784

This theorem is referenced by:  8gbe  43931  9gbo  43932  bgoldbtbndlem1  43963