Theorem 8even 43360

Description: 8 is an even number. (Contributed by AV, 23-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8even	⊢ 8 ∈ Even

Proof of Theorem 8even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11580	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	nnzi 11855	. 2 ⊢ 8 ∈ ℤ
3		4t2e8 11653	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
4	3	eqcomi 2804	. . . . 5 ⊢ 8 = (4 · 2)
5	4	oveq1i 7026	. . . 4 ⊢ (8 / 2) = ((4 · 2) / 2)
6		4cn 11570	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 11560	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		2ne0 11589	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
9	6, 7, 8	divcan4i 11235	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) / 2) = 4
10	5, 9	eqtri 2819	. . 3 ⊢ (8 / 2) = 4
11		4z 11865	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	10, 11	eqeltri 2879	. 2 ⊢ (8 / 2) ∈ ℤ
13		iseven 43275	. 2 ⊢ (8 ∈ Even ↔ (8 ∈ ℤ ∧ (8 / 2) ∈ ℤ))
14	2, 12, 13	mpbir2an 707	1 ⊢ 8 ∈ Even

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016   · cmul 10388   / cdiv 11145  2c2 11540  4c4 11542  8c8 11546  ℤcz 11829   Even ceven 43271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-z 11830  df-even 43273

This theorem is referenced by:  8gbe  43420  9gbo  43421  bgoldbtbndlem1  43452