Theorem 8even 47717

Description: 8 is an even number. (Contributed by AV, 23-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8even	⊢ 8 ∈ Even

Proof of Theorem 8even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12242	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12518	. 2 ⊢ 8 ∈ ℤ
3		4t2e8 12310	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
4	3	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 8 = (4 · 2)
5	4	oveq1i 7363	. . . 4 ⊢ (8 / 2) = ((4 · 2) / 2)
6		4cn 12232	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 12222	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		2ne0 12251	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
9	6, 7, 8	divcan4i 11890	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) / 2) = 4
10	5, 9	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (8 / 2) = 4
11		4z 12528	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	10, 11	eqeltri 2824	. 2 ⊢ (8 / 2) ∈ ℤ
13		iseven 47632	. 2 ⊢ (8 ∈ Even ↔ (8 ∈ ℤ ∧ (8 / 2) ∈ ℤ))
14	2, 12, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ 8 ∈ Even

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353   · cmul 11033   / cdiv 11796  2c2 12202  4c4 12204  8c8 12208  ℤcz 12490   Even ceven 47628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-z 12491  df-even 47630

This theorem is referenced by:  8gbe  47777  9gbo  47778  bgoldbtbndlem1  47809