Theorem 8nn 12240

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12214	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12237	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12157	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  7c7 12205  8c8 12206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214

This theorem is referenced by:  9nn  12243  8nn0  12424  37prm  17048  43prm  17049  83prm  17050  317prm  17053  1259lem4  17061  1259lem5  17062  2503prm  17067  4001prm  17072  ipndx  17250  ipid  17251  ipsstr  17256  phlstr  17266  quart1cl  26820  quart1lem  26821  quart1  26822  log2tlbnd  26911  bposlem8  27258  lgsdir2lem2  27293  lgsdir2lem3  27294  2lgslem3a1  27367  2lgslem3b1  27368  2lgslem3c1  27369  2lgslem3d1  27370  2lgslem4  27373  2lgsoddprmlem2  27376  pntlemr  27569  pntlemj  27570  edgfid  29063  edgfndx  29064  edgfndxnn  29065  ex-prmo  30534  hgt750lem  34808  hgt750lem2  34809  420gcd8e4  42260  420lcm8e840  42265  lcm8un  42274  lcmineqlem23  42305  lcmineqlem  42306  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow2ineq1  42312  8ne0  42518  rmydioph  43256  fmtnoprmfac2lem1  47812  127prm  47845  mod42tp1mod8  47848  8even  47959  8exp8mod9  47982  9fppr8  47983  nfermltl8rev  47988  nfermltlrev  47990  nnsum4primesevenALTV  48047  wtgoldbnnsum4prm  48048  bgoldbnnsum3prm  48050  bgoldbtbndlem1  48051  tgblthelfgott  48061  tgoldbachlt  48062