Theorem 8nn 12351

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12324	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12348	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12260	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  1c1 11116   + caddc 11118  ℕcn 12248  7c7 12315  8c8 12316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-1cn 11173

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324

This theorem is used by:  9nn  12354  8pos  12371  8nn0  12542  37prm  17203  43prm  17204  83prm  17205  317prm  17208  1259lem4  17216  1259lem5  17217  2503prm  17222  4001prm  17227  ipndx  17405  ipid  17406  ipsstr  17411  phlstr  17421  quart1cl  27070  quart1lem  27071  quart1  27072  log2tlbnd  27161  bposlem8  27506  lgsdir2lem2  27541  lgsdir2lem3  27542  2lgslem3a1  27615  2lgslem3b1  27616  2lgslem3c1  27617  2lgslem3d1  27618  2lgslem4  27621  2lgsoddprmlem2  27624  pntlemr  27817  pntlemj  27818  edgfid  29395  edgfndx  29396  edgfndxnn  29397  ex-prmo  30881  hgt750lem  35103  hgt750lem2  35104  420gcd8e4  42831  420lcm8e840  42836  lcm8un  42845  lcmineqlem23  42876  lcmineqlem  42877  3lexlogpow5ineq2  42880  3lexlogpow2ineq1  42883  8ne0  43088  rmydioph  43799  fmtnoprmfac2lem1  48376  127prm  48409  mod42tp1mod8  48412  8even  48536  8exp8mod9  48559  9fppr8  48560  nfermltl8rev  48565  nfermltlrev  48567  nnsum4primesevenALTV  48624  wtgoldbnnsum4prm  48625  bgoldbnnsum3prm  48627  bgoldbtbndlem1  48628  tgblthelfgott  48638  tgoldbachlt  48639