Theorem 8nn 11720

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 11694	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 11717	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 11637	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2886	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  7c7 11685  8c8 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694

This theorem is referenced by:  9nn  11723  8nn0  11908  37prm  16446  43prm  16447  83prm  16448  317prm  16451  1259lem4  16459  1259lem5  16460  2503prm  16465  4001prm  16470  ipndx  16633  ipid  16634  ipsstr  16635  ressip  16644  phlstr  16645  tngip  23253  quart1cl  25440  quart1lem  25441  quart1  25442  log2tlbnd  25531  bposlem8  25875  lgsdir2lem2  25910  lgsdir2lem3  25911  2lgslem3a1  25984  2lgslem3b1  25985  2lgslem3c1  25986  2lgslem3d1  25987  2lgslem4  25990  2lgsoddprmlem2  25993  pntlemr  26186  pntlemj  26187  edgfid  26784  edgfndxnn  26785  edgfndxid  26786  baseltedgf  26787  ex-prmo  28244  hgt750lem  32032  hgt750lem2  32033  420gcd8e4  39294  420lcm8e840  39299  lcm8un  39308  lcmineqlem23  39339  lcmineqlem  39340  3lexlogpow5ineq2  39342  rmydioph  39955  fmtnoprmfac2lem1  44083  127prm  44116  mod42tp1mod8  44120  8even  44231  8exp8mod9  44254  9fppr8  44255  nfermltl8rev  44260  nfermltlrev  44262  nnsum4primesevenALTV  44319  wtgoldbnnsum4prm  44320  bgoldbnnsum3prm  44322  bgoldbtbndlem1  44323  tgblthelfgott  44333  tgoldbachlt  44334