Theorem 8nn 12288

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12262	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12285	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12205	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  7c7 12253  8c8 12254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-1cn 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262

This theorem is referenced by:  9nn  12291  8nn0  12472  37prm  17098  43prm  17099  83prm  17100  317prm  17103  1259lem4  17111  1259lem5  17112  2503prm  17117  4001prm  17122  ipndx  17300  ipid  17301  ipsstr  17306  phlstr  17316  quart1cl  26771  quart1lem  26772  quart1  26773  log2tlbnd  26862  bposlem8  27209  lgsdir2lem2  27244  lgsdir2lem3  27245  2lgslem3a1  27318  2lgslem3b1  27319  2lgslem3c1  27320  2lgslem3d1  27321  2lgslem4  27324  2lgsoddprmlem2  27327  pntlemr  27520  pntlemj  27521  edgfid  28924  edgfndx  28925  edgfndxnn  28926  ex-prmo  30395  hgt750lem  34649  hgt750lem2  34650  420gcd8e4  42001  420lcm8e840  42006  lcm8un  42015  lcmineqlem23  42046  lcmineqlem  42047  3lexlogpow5ineq2  42050  3lexlogpow2ineq1  42053  8ne0  42258  rmydioph  43010  fmtnoprmfac2lem1  47571  127prm  47604  mod42tp1mod8  47607  8even  47718  8exp8mod9  47741  9fppr8  47742  nfermltl8rev  47747  nfermltlrev  47749  nnsum4primesevenALTV  47806  wtgoldbnnsum4prm  47807  bgoldbnnsum3prm  47809  bgoldbtbndlem1  47810  tgblthelfgott  47820  tgoldbachlt  47821