Theorem 8nn 12333

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12307	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12330	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12250	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  7c7 12298  8c8 12299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307

This theorem is referenced by:  9nn  12336  8nn0  12522  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  317prm  17143  1259lem4  17151  1259lem5  17152  2503prm  17157  4001prm  17162  ipndx  17342  ipid  17343  ipsstr  17348  phlstr  17358  quart1cl  26814  quart1lem  26815  quart1  26816  log2tlbnd  26905  bposlem8  27252  lgsdir2lem2  27287  lgsdir2lem3  27288  2lgslem3a1  27361  2lgslem3b1  27362  2lgslem3c1  27363  2lgslem3d1  27364  2lgslem4  27367  2lgsoddprmlem2  27370  pntlemr  27563  pntlemj  27564  edgfid  28915  edgfndx  28916  edgfndxnn  28917  ex-prmo  30386  hgt750lem  34629  hgt750lem2  34630  420gcd8e4  41965  420lcm8e840  41970  lcm8un  41979  lcmineqlem23  42010  lcmineqlem  42011  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow2ineq1  42017  8ne0  42260  rmydioph  42985  fmtnoprmfac2lem1  47528  127prm  47561  mod42tp1mod8  47564  8even  47675  8exp8mod9  47698  9fppr8  47699  nfermltl8rev  47704  nfermltlrev  47706  nnsum4primesevenALTV  47763  wtgoldbnnsum4prm  47764  bgoldbnnsum3prm  47766  bgoldbtbndlem1  47767  tgblthelfgott  47777  tgoldbachlt  47778