Theorem 8nn 12242

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12216	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12239	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12159	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12147  7c7 12207  8c8 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216

This theorem is referenced by:  9nn  12245  8nn0  12426  37prm  17051  43prm  17052  83prm  17053  317prm  17056  1259lem4  17064  1259lem5  17065  2503prm  17070  4001prm  17075  ipndx  17253  ipid  17254  ipsstr  17259  phlstr  17269  quart1cl  26781  quart1lem  26782  quart1  26783  log2tlbnd  26872  bposlem8  27219  lgsdir2lem2  27254  lgsdir2lem3  27255  2lgslem3a1  27328  2lgslem3b1  27329  2lgslem3c1  27330  2lgslem3d1  27331  2lgslem4  27334  2lgsoddprmlem2  27337  pntlemr  27530  pntlemj  27531  edgfid  28954  edgfndx  28955  edgfndxnn  28956  ex-prmo  30422  hgt750lem  34638  hgt750lem2  34639  420gcd8e4  41999  420lcm8e840  42004  lcm8un  42013  lcmineqlem23  42044  lcmineqlem  42045  3lexlogpow5ineq2  42048  3lexlogpow2ineq1  42051  8ne0  42256  rmydioph  43007  fmtnoprmfac2lem1  47570  127prm  47603  mod42tp1mod8  47606  8even  47717  8exp8mod9  47740  9fppr8  47741  nfermltl8rev  47746  nfermltlrev  47748  nnsum4primesevenALTV  47805  wtgoldbnnsum4prm  47806  bgoldbnnsum3prm  47808  bgoldbtbndlem1  47809  tgblthelfgott  47819  tgoldbachlt  47820