Theorem 8nn 12358

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12332	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12355	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12275	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2834	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  7c7 12323  8c8 12324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-1cn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332

This theorem is referenced by:  9nn  12361  8nn0  12546  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  317prm  17159  1259lem4  17167  1259lem5  17168  2503prm  17173  4001prm  17178  ipndx  17375  ipid  17376  ipsstr  17381  phlstr  17391  tngipOLD  24682  quart1cl  26911  quart1lem  26912  quart1  26913  log2tlbnd  27002  bposlem8  27349  lgsdir2lem2  27384  lgsdir2lem3  27385  2lgslem3a1  27458  2lgslem3b1  27459  2lgslem3c1  27460  2lgslem3d1  27461  2lgslem4  27464  2lgsoddprmlem2  27467  pntlemr  27660  pntlemj  27661  edgfid  29019  edgfndx  29020  edgfndxnn  29021  edgfndxidOLD  29023  baseltedgfOLD  29025  ex-prmo  30487  hgt750lem  34644  hgt750lem2  34645  420gcd8e4  41987  420lcm8e840  41992  lcm8un  42001  lcmineqlem23  42032  lcmineqlem  42033  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow2ineq1  42039  rmydioph  43002  fmtnoprmfac2lem1  47490  127prm  47523  mod42tp1mod8  47526  8even  47637  8exp8mod9  47660  9fppr8  47661  nfermltl8rev  47666  nfermltlrev  47668  nnsum4primesevenALTV  47725  wtgoldbnnsum4prm  47726  bgoldbnnsum3prm  47728  bgoldbtbndlem1  47729  tgblthelfgott  47739  tgoldbachlt  47740