Theorem 8nn 12431

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12404	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12428	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12340	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328  7c7 12395  8c8 12396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404

This theorem is used by:  9nn  12434  8pos  12451  8nn0  12622  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  317prm  17297  1259lem4  17305  1259lem5  17306  2503prm  17311  4001prm  17316  ipndx  17494  ipid  17495  ipsstr  17500  phlstr  17510  quart1cl  27175  quart1lem  27176  quart1  27177  log2tlbnd  27266  bposlem8  27611  lgsdir2lem2  27646  lgsdir2lem3  27647  2lgslem3a1  27720  2lgslem3b1  27721  2lgslem3c1  27722  2lgslem3d1  27723  2lgslem4  27726  2lgsoddprmlem2  27729  pntlemr  27922  pntlemj  27923  edgfid  29561  edgfndx  29562  edgfndxnn  29563  ex-prmo  31053  hgt750lem  35273  hgt750lem2  35274  420gcd8e4  43036  420lcm8e840  43041  lcm8un  43050  lcmineqlem23  43081  lcmineqlem  43082  3lexlogpow5ineq2  43085  3lexlogpow2ineq1  43088  8ne0  43308  rmydioph  44000  fmtnoprmfac2lem1  48620  127prm  48653  mod42tp1mod8  48656  8even  48780  8exp8mod9  48803  9fppr8  48804  nfermltl8rev  48809  nfermltlrev  48811  nnsum4primesevenALTV  48868  wtgoldbnnsum4prm  48869  bgoldbnnsum3prm  48871  bgoldbtbndlem1  48872  tgblthelfgott  48882  tgoldbachlt  48883