Theorem 8nn 12215

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12189	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12212	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12132	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004  ℕcn 12120  7c7 12180  8c8 12181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-1cn 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189

This theorem is referenced by:  9nn  12218  8nn0  12399  37prm  17027  43prm  17028  83prm  17029  317prm  17032  1259lem4  17040  1259lem5  17041  2503prm  17046  4001prm  17051  ipndx  17229  ipid  17230  ipsstr  17235  phlstr  17245  quart1cl  26786  quart1lem  26787  quart1  26788  log2tlbnd  26877  bposlem8  27224  lgsdir2lem2  27259  lgsdir2lem3  27260  2lgslem3a1  27333  2lgslem3b1  27334  2lgslem3c1  27335  2lgslem3d1  27336  2lgslem4  27339  2lgsoddprmlem2  27342  pntlemr  27535  pntlemj  27536  edgfid  28963  edgfndx  28964  edgfndxnn  28965  ex-prmo  30431  hgt750lem  34656  hgt750lem2  34657  420gcd8e4  42039  420lcm8e840  42044  lcm8un  42053  lcmineqlem23  42084  lcmineqlem  42085  3lexlogpow5ineq2  42088  3lexlogpow2ineq1  42091  8ne0  42296  rmydioph  43047  fmtnoprmfac2lem1  47597  127prm  47630  mod42tp1mod8  47633  8even  47744  8exp8mod9  47767  9fppr8  47768  nfermltl8rev  47773  nfermltlrev  47775  nnsum4primesevenALTV  47832  wtgoldbnnsum4prm  47833  bgoldbnnsum3prm  47835  bgoldbtbndlem1  47836  tgblthelfgott  47846  tgoldbachlt  47847