Theorem 8nn 12331

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12304	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12328	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12240	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098  ℕcn 12228  7c7 12295  8c8 12296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304

This theorem is referenced by:  9nn  12334  8pos  12351  8nn0  12522  37prm  17176  43prm  17177  83prm  17178  317prm  17181  1259lem4  17189  1259lem5  17190  2503prm  17195  4001prm  17200  ipndx  17378  ipid  17379  ipsstr  17384  phlstr  17394  quart1cl  27019  quart1lem  27020  quart1  27021  log2tlbnd  27110  bposlem8  27455  lgsdir2lem2  27490  lgsdir2lem3  27491  2lgslem3a1  27564  2lgslem3b1  27565  2lgslem3c1  27566  2lgslem3d1  27567  2lgslem4  27570  2lgsoddprmlem2  27573  pntlemr  27766  pntlemj  27767  edgfid  29340  edgfndx  29341  edgfndxnn  29342  ex-prmo  30810  hgt750lem  35038  hgt750lem2  35039  420gcd8e4  42773  420lcm8e840  42778  lcm8un  42787  lcmineqlem23  42818  lcmineqlem  42819  3lexlogpow5ineq2  42822  3lexlogpow2ineq1  42825  8ne0  43030  rmydioph  43741  fmtnoprmfac2lem1  48318  127prm  48351  mod42tp1mod8  48354  8even  48478  8exp8mod9  48501  9fppr8  48502  nfermltl8rev  48507  nfermltlrev  48509  nnsum4primesevenALTV  48566  wtgoldbnnsum4prm  48567  bgoldbnnsum3prm  48569  bgoldbtbndlem1  48570  tgblthelfgott  48580  tgoldbachlt  48581