Theorem 8nn 12267

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12241	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12264	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  7c7 12232  8c8 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241

This theorem is referenced by:  9nn  12270  8nn0  12451  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  317prm  17087  1259lem4  17095  1259lem5  17096  2503prm  17101  4001prm  17106  ipndx  17284  ipid  17285  ipsstr  17290  phlstr  17300  quart1cl  26836  quart1lem  26837  quart1  26838  log2tlbnd  26927  bposlem8  27272  lgsdir2lem2  27307  lgsdir2lem3  27308  2lgslem3a1  27381  2lgslem3b1  27382  2lgslem3c1  27383  2lgslem3d1  27384  2lgslem4  27387  2lgsoddprmlem2  27390  pntlemr  27583  pntlemj  27584  edgfid  29077  edgfndx  29078  edgfndxnn  29079  ex-prmo  30547  hgt750lem  34835  hgt750lem2  34836  420gcd8e4  42491  420lcm8e840  42496  lcm8un  42505  lcmineqlem23  42536  lcmineqlem  42537  3lexlogpow5ineq2  42540  3lexlogpow2ineq1  42543  8ne0  42746  rmydioph  43459  fmtnoprmfac2lem1  48044  127prm  48077  mod42tp1mod8  48080  8even  48204  8exp8mod9  48227  9fppr8  48228  nfermltl8rev  48233  nfermltlrev  48235  nnsum4primesevenALTV  48292  wtgoldbnnsum4prm  48293  bgoldbnnsum3prm  48295  bgoldbtbndlem1  48296  tgblthelfgott  48306  tgoldbachlt  48307