Theorem 8nn 12267

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12241	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12264	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  7c7 12232  8c8 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241

This theorem is referenced by:  9nn  12270  8nn0  12451  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  317prm  17087  1259lem4  17095  1259lem5  17096  2503prm  17101  4001prm  17106  ipndx  17284  ipid  17285  ipsstr  17290  phlstr  17300  quart1cl  26831  quart1lem  26832  quart1  26833  log2tlbnd  26922  bposlem8  27268  lgsdir2lem2  27303  lgsdir2lem3  27304  2lgslem3a1  27377  2lgslem3b1  27378  2lgslem3c1  27379  2lgslem3d1  27380  2lgslem4  27383  2lgsoddprmlem2  27386  pntlemr  27579  pntlemj  27580  edgfid  29073  edgfndx  29074  edgfndxnn  29075  ex-prmo  30544  hgt750lem  34811  hgt750lem2  34812  420gcd8e4  42459  420lcm8e840  42464  lcm8un  42473  lcmineqlem23  42504  lcmineqlem  42505  3lexlogpow5ineq2  42508  3lexlogpow2ineq1  42511  8ne0  42715  rmydioph  43460  fmtnoprmfac2lem1  48041  127prm  48074  mod42tp1mod8  48077  8even  48201  8exp8mod9  48224  9fppr8  48225  nfermltl8rev  48230  nfermltlrev  48232  nnsum4primesevenALTV  48289  wtgoldbnnsum4prm  48290  bgoldbnnsum3prm  48292  bgoldbtbndlem1  48293  tgblthelfgott  48303  tgoldbachlt  48304