Theorem 8nn 12388

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12362	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12385	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  7c7 12353  8c8 12354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362

This theorem is referenced by:  9nn  12391  8nn0  12576  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  317prm  17173  1259lem4  17181  1259lem5  17182  2503prm  17187  4001prm  17192  ipndx  17389  ipid  17390  ipsstr  17395  phlstr  17405  tngipOLD  24688  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  log2tlbnd  27006  bposlem8  27353  lgsdir2lem2  27388  lgsdir2lem3  27389  2lgslem3a1  27462  2lgslem3b1  27463  2lgslem3c1  27464  2lgslem3d1  27465  2lgslem4  27468  2lgsoddprmlem2  27471  pntlemr  27664  pntlemj  27665  edgfid  29023  edgfndx  29024  edgfndxnn  29025  edgfndxidOLD  29027  baseltedgfOLD  29029  ex-prmo  30491  hgt750lem  34628  hgt750lem2  34629  420gcd8e4  41963  420lcm8e840  41968  lcm8un  41977  lcmineqlem23  42008  lcmineqlem  42009  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow2ineq1  42015  rmydioph  42971  fmtnoprmfac2lem1  47440  127prm  47473  mod42tp1mod8  47476  8even  47587  8exp8mod9  47610  9fppr8  47611  nfermltl8rev  47616  nfermltlrev  47618  nnsum4primesevenALTV  47675  wtgoldbnnsum4prm  47676  bgoldbnnsum3prm  47678  bgoldbtbndlem1  47679  tgblthelfgott  47689  tgoldbachlt  47690