Theorem 8nn 12478

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12451	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12387	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  7c7 12442  8c8 12443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451

This theorem is used by:  9nn  12481  8pos  12498  8nn0  12669  37prm  17343  43prm  17344  83prm  17345  317prm  17348  1259lem4  17356  1259lem5  17357  2503prm  17362  4001prm  17367  ipndx  17547  ipid  17548  ipsstr  17553  phlstr  17563  quart1cl  27239  quart1lem  27240  quart1  27241  log2tlbnd  27330  bposlem8  27675  lgsdir2lem2  27710  lgsdir2lem3  27711  2lgslem3a1  27784  2lgslem3b1  27785  2lgslem3c1  27786  2lgslem3d1  27787  2lgslem4  27790  2lgsoddprmlem2  27793  pntlemr  27986  pntlemj  27987  edgfid  29625  edgfndx  29626  edgfndxnn  29627  ex-prmo  31117  hgt750lem  35391  hgt750lem2  35392  420gcd8e4  43322  420lcm8e840  43327  lcm8un  43336  lcmineqlem23  43367  lcmineqlem  43368  3lexlogpow5ineq2  43371  3lexlogpow2ineq1  43374  8ne0  43594  rmydioph  44287  fmtnoprmfac2lem1  48924  127prm  48957  mod42tp1mod8  48960  8even  49084  8exp8mod9  49107  9fppr8  49108  nfermltl8rev  49113  nfermltlrev  49115  nnsum4primesevenALTV  49172  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbnnsum3prm  49175  bgoldbtbndlem1  49176  tgblthelfgott  49186  tgoldbachlt  49187