Theorem 8nn 12360

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12333	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12357	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12269	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕcn 12257  7c7 12324  8c8 12325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333

This theorem is used by:  9nn  12363  8pos  12380  8nn0  12551  37prm  17213  43prm  17214  83prm  17215  317prm  17218  1259lem4  17226  1259lem5  17227  2503prm  17232  4001prm  17237  ipndx  17415  ipid  17416  ipsstr  17421  phlstr  17431  quart1cl  27091  quart1lem  27092  quart1  27093  log2tlbnd  27182  bposlem8  27527  lgsdir2lem2  27562  lgsdir2lem3  27563  2lgslem3a1  27636  2lgslem3b1  27637  2lgslem3c1  27638  2lgslem3d1  27639  2lgslem4  27642  2lgsoddprmlem2  27645  pntlemr  27838  pntlemj  27839  edgfid  29447  edgfndx  29448  edgfndxnn  29449  ex-prmo  30939  hgt750lem  35159  hgt750lem2  35160  420gcd8e4  42872  420lcm8e840  42877  lcm8un  42886  lcmineqlem23  42917  lcmineqlem  42918  3lexlogpow5ineq2  42921  3lexlogpow2ineq1  42924  8ne0  43144  rmydioph  43855  fmtnoprmfac2lem1  48469  127prm  48502  mod42tp1mod8  48505  8even  48629  8exp8mod9  48652  9fppr8  48653  nfermltl8rev  48658  nfermltlrev  48660  nnsum4primesevenALTV  48717  wtgoldbnnsum4prm  48718  bgoldbnnsum3prm  48720  bgoldbtbndlem1  48721  tgblthelfgott  48731  tgoldbachlt  48732