Theorem 8nn 12331

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12305	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12328	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12248	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  1c1 11133   + caddc 11135  ℕcn 12236  7c7 12296  8c8 12297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-1cn 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305

This theorem is referenced by:  9nn  12334  8nn0  12519  37prm  17083  43prm  17084  83prm  17085  317prm  17088  1259lem4  17096  1259lem5  17097  2503prm  17102  4001prm  17107  ipndx  17304  ipid  17305  ipsstr  17310  phlstr  17320  tngipOLD  24556  quart1cl  26779  quart1lem  26780  quart1  26781  log2tlbnd  26870  bposlem8  27217  lgsdir2lem2  27252  lgsdir2lem3  27253  2lgslem3a1  27326  2lgslem3b1  27327  2lgslem3c1  27328  2lgslem3d1  27329  2lgslem4  27332  2lgsoddprmlem2  27335  pntlemr  27528  pntlemj  27529  edgfid  28794  edgfndx  28795  edgfndxnn  28796  edgfndxidOLD  28798  baseltedgfOLD  28800  ex-prmo  30262  hgt750lem  34277  hgt750lem2  34278  420gcd8e4  41471  420lcm8e840  41476  lcm8un  41485  lcmineqlem23  41516  lcmineqlem  41517  3lexlogpow5ineq2  41520  3lexlogpow2ineq1  41523  rmydioph  42429  fmtnoprmfac2lem1  46900  127prm  46933  mod42tp1mod8  46936  8even  47047  8exp8mod9  47070  9fppr8  47071  nfermltl8rev  47076  nfermltlrev  47078  nnsum4primesevenALTV  47135  wtgoldbnnsum4prm  47136  bgoldbnnsum3prm  47138  bgoldbtbndlem1  47139  tgblthelfgott  47149  tgoldbachlt  47150