Theorem 8nn 12231

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12205	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12228	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12148	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020  ℕcn 12136  7c7 12196  8c8 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-1cn 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205

This theorem is referenced by:  9nn  12234  8nn0  12415  37prm  17039  43prm  17040  83prm  17041  317prm  17044  1259lem4  17052  1259lem5  17053  2503prm  17058  4001prm  17063  ipndx  17241  ipid  17242  ipsstr  17247  phlstr  17257  quart1cl  26811  quart1lem  26812  quart1  26813  log2tlbnd  26902  bposlem8  27249  lgsdir2lem2  27284  lgsdir2lem3  27285  2lgslem3a1  27358  2lgslem3b1  27359  2lgslem3c1  27360  2lgslem3d1  27361  2lgslem4  27364  2lgsoddprmlem2  27367  pntlemr  27560  pntlemj  27561  edgfid  28989  edgfndx  28990  edgfndxnn  28991  ex-prmo  30460  hgt750lem  34736  hgt750lem2  34737  420gcd8e4  42172  420lcm8e840  42177  lcm8un  42186  lcmineqlem23  42217  lcmineqlem  42218  3lexlogpow5ineq2  42221  3lexlogpow2ineq1  42224  8ne0  42433  rmydioph  43171  fmtnoprmfac2lem1  47728  127prm  47761  mod42tp1mod8  47764  8even  47875  8exp8mod9  47898  9fppr8  47899  nfermltl8rev  47904  nfermltlrev  47906  nnsum4primesevenALTV  47963  wtgoldbnnsum4prm  47964  bgoldbnnsum3prm  47966  bgoldbtbndlem1  47967  tgblthelfgott  47977  tgoldbachlt  47978