Theorem 8nn 12257

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12231	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12254	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12174	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  7c7 12222  8c8 12223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231

This theorem is referenced by:  9nn  12260  8nn0  12441  37prm  17067  43prm  17068  83prm  17069  317prm  17072  1259lem4  17080  1259lem5  17081  2503prm  17086  4001prm  17091  ipndx  17269  ipid  17270  ipsstr  17275  phlstr  17285  quart1cl  26740  quart1lem  26741  quart1  26742  log2tlbnd  26831  bposlem8  27178  lgsdir2lem2  27213  lgsdir2lem3  27214  2lgslem3a1  27287  2lgslem3b1  27288  2lgslem3c1  27289  2lgslem3d1  27290  2lgslem4  27293  2lgsoddprmlem2  27296  pntlemr  27489  pntlemj  27490  edgfid  28893  edgfndx  28894  edgfndxnn  28895  ex-prmo  30361  hgt750lem  34615  hgt750lem2  34616  420gcd8e4  41967  420lcm8e840  41972  lcm8un  41981  lcmineqlem23  42012  lcmineqlem  42013  3lexlogpow5ineq2  42016  3lexlogpow2ineq1  42019  8ne0  42224  rmydioph  42976  fmtnoprmfac2lem1  47540  127prm  47573  mod42tp1mod8  47576  8even  47687  8exp8mod9  47710  9fppr8  47711  nfermltl8rev  47716  nfermltlrev  47718  nnsum4primesevenALTV  47775  wtgoldbnnsum4prm  47776  bgoldbnnsum3prm  47778  bgoldbtbndlem1  47779  tgblthelfgott  47789  tgoldbachlt  47790