Theorem 8nn 12332

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12305	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12329	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12241	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  7c7 12296  8c8 12297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305

This theorem is referenced by:  9nn  12335  8pos  12352  8nn0  12523  37prm  17177  43prm  17178  83prm  17179  317prm  17182  1259lem4  17190  1259lem5  17191  2503prm  17196  4001prm  17201  ipndx  17379  ipid  17380  ipsstr  17385  phlstr  17395  quart1cl  26981  quart1lem  26982  quart1  26983  log2tlbnd  27072  bposlem8  27417  lgsdir2lem2  27452  lgsdir2lem3  27453  2lgslem3a1  27526  2lgslem3b1  27527  2lgslem3c1  27528  2lgslem3d1  27529  2lgslem4  27532  2lgsoddprmlem2  27535  pntlemr  27728  pntlemj  27729  edgfid  29277  edgfndx  29278  edgfndxnn  29279  ex-prmo  30747  hgt750lem  34979  hgt750lem2  34980  420gcd8e4  42658  420lcm8e840  42663  lcm8un  42672  lcmineqlem23  42703  lcmineqlem  42704  3lexlogpow5ineq2  42707  3lexlogpow2ineq1  42710  8ne0  42915  rmydioph  43628  fmtnoprmfac2lem1  48202  127prm  48235  mod42tp1mod8  48238  8even  48362  8exp8mod9  48385  9fppr8  48386  nfermltl8rev  48391  nfermltlrev  48393  nnsum4primesevenALTV  48450  wtgoldbnnsum4prm  48451  bgoldbnnsum3prm  48453  bgoldbtbndlem1  48454  tgblthelfgott  48464  tgoldbachlt  48465