Theorem 8nn 12443

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 12416	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 12440	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 12352	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  1c1 11206   + caddc 11208  ℕcn 12340  7c7 12407  8c8 12408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-1cn 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416

This theorem is used by:  9nn  12446  8pos  12463  8nn0  12634  37prm  17306  43prm  17307  83prm  17308  317prm  17311  1259lem4  17319  1259lem5  17320  2503prm  17325  4001prm  17330  ipndx  17508  ipid  17509  ipsstr  17514  phlstr  17524  quart1cl  27189  quart1lem  27190  quart1  27191  log2tlbnd  27280  bposlem8  27625  lgsdir2lem2  27660  lgsdir2lem3  27661  2lgslem3a1  27734  2lgslem3b1  27735  2lgslem3c1  27736  2lgslem3d1  27737  2lgslem4  27740  2lgsoddprmlem2  27743  pntlemr  27936  pntlemj  27937  edgfid  29575  edgfndx  29576  edgfndxnn  29577  ex-prmo  31067  hgt750lem  35328  hgt750lem2  35329  420gcd8e4  43163  420lcm8e840  43168  lcm8un  43177  lcmineqlem23  43208  lcmineqlem  43209  3lexlogpow5ineq2  43212  3lexlogpow2ineq1  43215  8ne0  43435  rmydioph  44128  fmtnoprmfac2lem1  48758  127prm  48791  mod42tp1mod8  48794  8even  48918  8exp8mod9  48941  9fppr8  48942  nfermltl8rev  48947  nfermltlrev  48949  nnsum4primesevenALTV  49006  wtgoldbnnsum4prm  49007  bgoldbnnsum3prm  49009  bgoldbtbndlem1  49010  tgblthelfgott  49020  tgoldbachlt  49021