Theorem 8gbe 48249

Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8gbe	⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8even 48189	. 2 ⊢ 8 ∈ Even
2		5prm 17079	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		3prm 16663	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		5odd 48186	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
5		3odd 48184	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
6		5p3e8 12333	. . . . 5 ⊢ (5 + 3) = 8
7	6	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 8 = (5 + 3)
8	4, 5, 7	3pm3.2i 1341	. . 3 ⊢ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
12	11	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
13	9, 10, 12	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
17	16	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
18	14, 15, 17	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
19	13, 18	rspc2ev 3577	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
20	2, 3, 8, 19	mp3an 1464	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21		isgbe 48227	. 2 ⊢ (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
22	1, 20, 21	mpbir2an 712	1 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  (class class class)co 7367   + caddc 11041  3c3 12237  5c5 12239  8c8 12242  ℙcprime 16640   Even ceven 48100   Odd codd 48101   GoldbachEven cgbe 48221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-even 48102  df-odd 48103  df-gbe 48224

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  48270