Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8gbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8gbe 43945
Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
8gbe 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8even 43885 . 2 8 ∈ Even
2 5prm 16445 . . 3 5 ∈ ℙ
3 3prm 16041 . . 3 3 ∈ ℙ
4 5odd 43882 . . . 4 5 ∈ Odd
5 3odd 43880 . . . 4 3 ∈ Odd
6 5p3e8 11797 . . . . 5 (5 + 3) = 8
76eqcomi 2833 . . . 4 8 = (5 + 3)
84, 5, 73pm3.2i 1335 . . 3 (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9 eleq1 2903 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10 biidd 264 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11 oveq1 7166 . . . . . 6 (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
1211eqeq2d 2835 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
139, 10, 123anbi123d 1432 . . . 4 (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14 biidd 264 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15 eleq1 2903 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16 oveq2 7167 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
1716eqeq2d 2835 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
1814, 15, 173anbi123d 1432 . . . 4 (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
1913, 18rspc2ev 3638 . . 3 ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
202, 3, 8, 19mp3an 1457 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21 isgbe 43923 . 2 (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
221, 20, 21mpbir2an 709 1 8 ∈ GoldbachEven
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wrex 3142  (class class class)co 7159   + caddc 10543  3c3 11696  5c5 11698  8c8 11701  cprime 16018   Even ceven 43796   Odd codd 43797   GoldbachEven cgbe 43917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-prm 16019  df-even 43798  df-odd 43799  df-gbe 43920
This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  43966
  Copyright terms: Public domain W3C validator