Theorem 8gbe 45225

Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8gbe	⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8even 45165	. 2 ⊢ 8 ∈ Even
2		5prm 16810	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		3prm 16399	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		5odd 45162	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
5		3odd 45160	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
6		5p3e8 12130	. . . . 5 ⊢ (5 + 3) = 8
7	6	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 8 = (5 + 3)
8	4, 5, 7	3pm3.2i 1338	. . 3 ⊢ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10		biidd 261	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
12	11	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
13	9, 10, 12	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14		biidd 261	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
17	16	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
18	14, 15, 17	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
19	13, 18	rspc2ev 3572	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
20	2, 3, 8, 19	mp3an 1460	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21		isgbe 45203	. 2 ⊢ (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
22	1, 20, 21	mpbir2an 708	1 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  (class class class)co 7275   + caddc 10874  3c3 12029  5c5 12031  8c8 12034  ℙcprime 16376   Even ceven 45076   Odd codd 45077   GoldbachEven cgbe 45197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-even 45078  df-odd 45079  df-gbe 45200

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  45246