Theorem 8gbe 45113

Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8gbe	⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8even 45053	. 2 ⊢ 8 ∈ Even
2		5prm 16738	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		3prm 16327	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		5odd 45050	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
5		3odd 45048	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
6		5p3e8 12060	. . . . 5 ⊢ (5 + 3) = 8
7	6	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 8 = (5 + 3)
8	4, 5, 7	3pm3.2i 1337	. . 3 ⊢ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10		biidd 261	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
12	11	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
13	9, 10, 12	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14		biidd 261	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
17	16	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
18	14, 15, 17	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
19	13, 18	rspc2ev 3564	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
20	2, 3, 8, 19	mp3an 1459	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21		isgbe 45091	. 2 ⊢ (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
22	1, 20, 21	mpbir2an 707	1 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  (class class class)co 7255   + caddc 10805  3c3 11959  5c5 11961  8c8 11964  ℙcprime 16304   Even ceven 44964   Odd codd 44965   GoldbachEven cgbe 45085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-even 44966  df-odd 44967  df-gbe 45088

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  45134