Theorem 8gbe 48265

Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8gbe	⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8even 48205	. 2 ⊢ 8 ∈ Even
2		5prm 17074	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		3prm 16658	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		5odd 48202	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
5		3odd 48200	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
6		5p3e8 12328	. . . . 5 ⊢ (5 + 3) = 8
7	6	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 8 = (5 + 3)
8	4, 5, 7	3pm3.2i 1341	. . 3 ⊢ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11		oveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
12	11	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
13	9, 10, 12	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
17	16	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
18	14, 15, 17	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
19	13, 18	rspc2ev 3578	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
20	2, 3, 8, 19	mp3an 1464	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21		isgbe 48243	. 2 ⊢ (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
22	1, 20, 21	mpbir2an 712	1 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  (class class class)co 7362   + caddc 11036  3c3 12232  5c5 12234  8c8 12237  ℙcprime 16635   Even ceven 48116   Odd codd 48117   GoldbachEven cgbe 48237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-prm 16636  df-even 48118  df-odd 48119  df-gbe 48240

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  48286