Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8gbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8gbe 45203
Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
8gbe 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8even 45143 . 2 8 ∈ Even
2 5prm 16820 . . 3 5 ∈ ℙ
3 3prm 16409 . . 3 3 ∈ ℙ
4 5odd 45140 . . . 4 5 ∈ Odd
5 3odd 45138 . . . 4 3 ∈ Odd
6 5p3e8 12140 . . . . 5 (5 + 3) = 8
76eqcomi 2747 . . . 4 8 = (5 + 3)
84, 5, 73pm3.2i 1338 . . 3 (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10 biidd 261 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11 oveq1 7274 . . . . . 6 (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
1211eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
139, 10, 123anbi123d 1435 . . . 4 (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14 biidd 261 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16 oveq2 7275 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
1716eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
1814, 15, 173anbi123d 1435 . . . 4 (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
1913, 18rspc2ev 3571 . . 3 ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
202, 3, 8, 19mp3an 1460 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21 isgbe 45181 . 2 (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
221, 20, 21mpbir2an 708 1 8 ∈ GoldbachEven
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  (class class class)co 7267   + caddc 10884  3c3 12039  5c5 12041  8c8 12044  cprime 16386   Even ceven 45054   Odd codd 45055   GoldbachEven cgbe 45175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-dvds 15974  df-prm 16387  df-even 45056  df-odd 45057  df-gbe 45178
This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  45224
  Copyright terms: Public domain W3C validator