MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs3difd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs3difd 14809
Description: Absolute value of differences around common element. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
abs3difd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
abs3difd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))))

Proof of Theorem abs3difd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 abs3difd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 abs3dif 14680 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   class class class wbr 5047  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520   + caddc 10525  cle 10661  cmin 10855  abscabs 14582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584
This theorem is referenced by:  4sqlem11  16278  xrsxmet  23403  ulmcn  24983  ulmdvlem1  24984  lgamgulmlem3  25605  dchrisum0lem1b  26088  unbdqndv2lem1  33866  absnpncan2d  41776  absnpncan3d  41781  lptre2pt  42124
  Copyright terms: Public domain W3C validator